Có 10 bạn học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 12 của một trường phổ thông gồm 2 bạn đến từ lớp \(12\;A1,3\) bạn đến từ lớp \(12\;A2,5\) bạn còn lại đến từ các lớp khác nhau. Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn đó vào ngồi một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau. Tính xác suất sao cho không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau.

Chọn D

Gọi các biến cố \(A\): "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau";

\(\bar A\): "Không có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau";

\({A_1}\): "Có học sinh lớp 12A1 ngồi đối diện nhau";

\({A_2}\): "Có học sinh lớp \(12\;A2\) ngồi đối diện nhau".

Khi đó \({A_1}{A_2}\) là biến cố: "Học sinh \(12\;A1\) ngồi đối diện nhau và học sinh \(12\;A2\) ngồi đối diện nhau".

Ta có: \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{5 \cdot 2 \cdot 8!}}{{10!}} = \frac{1}{9};P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{5A_3^2 \cdot 8!}}{{10!}} = \frac{1}{3};P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = \frac{{5 \cdot 2 \cdot 4 \cdot A_3^2 \cdot 6!}}{{10!}} = \frac{1}{{21}}\).

Suy ra: \(P(A) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) - P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{21}} = \frac{{25}}{{63}}\).

Vậy xác suất để xếp được hàng mà không có học sinh cùng lớp nào ngồi đối diện nhau là:

\(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - \frac{{25}}{{63}} = \frac{{38}}{{63}}\)