Một nhóm thám hiểm muốn dựng một cái lều để nghỉ qua đêm như hình.

Biết rằng tấm bạt trải để che phía trên có kích thước dài 8m rộng 5m và được gập đôi sao cho lều dài 8m. Biết rằng lều sẽ đứng vững nhất khi hai mặt bên của lều tạo với mặt đất một góc \(45^\circ \). Tính thể tích của lều?

Chọn A

Giả sử hình chóp \(S.ABCD\) có cùng kích thước với Kim tự tháp kính Louvre.

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \[ABCD\] và \(N\) là trung điểm \(CD\). Từ \(O\) hạ đường vuông góc xuống \(SN\).

Ta có: \[\left. \begin{array}{l}CD \bot SO\\CD \bot ON\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SON} \right)\] \( \Rightarrow CD \bot OM\).

Mà: \(OM \bot SN\).

Nên: \(OM \bot \left( {SCD} \right)\).

Suy ra: \(OM = d\left[ {O;\left( {SCD} \right)} \right]\) là khoảng cách ngắn nhất để căng dây.

Xét \(\Delta SON\) vuông tại O: \(SO = 20,6m\) và \(ON = \frac{{35}}{2}m\).

\(\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}}\) \( \Rightarrow OM \simeq 13,34m\)

a) Sai.

Đáy lều là hình vuông, có diện tích là : \[S = 16\;\left( {{m^2}} \right).\]

Lều có chiều cao: \[h = 3\;\left( {\rm{m}} \right).\]

Thể tích của lều là: \[V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.16.3 = 16\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right).\]

b) Đúng.

Thể tích của khối lập phương là: \[{V_1} = {3^3} = 27\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right).\]

c) Sai.

Khi lều có cạnh đáy bằng \[a\] và chiều cao bằng \[h\] thì thể tích của lều là \[V = \frac{1}{3}{a^2}h.\]

Khi \[a\] tăng lên gấp đôi và \[h\] không đổi thì thể tích lều bằng \[\frac{1}{3}{\left( {2a} \right)^2}.h = 4\left( {\frac{1}{3}.{a^2}.h} \right) = 4V.\]

d) Đúng.

Khi \[h\] giảm một nửa và \[a\] không đổi thì thì thể tích lều bằng \[\frac{1}{3}{a^2}.\left( {\frac{h}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3}.{a^2}.h} \right) = \frac{V}{2}.\]