Xét khối tứ diện \[ABCD\] có cạnh \[AB = x\], các cạnh còn lại đều bằng \[2\sqrt 3 \]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(CD\) và \(AB\); \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BM\).

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}CD \bot BM\\CD \bot AM\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right) \Rightarrow \left( {ABM} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

Mà \(AH \bot BM\); \(BM = \left( {ABM} \right) \cap \left( {ABC} \right)\)\(A\).

Do \(ACD\) và \(BCD\) là hai tam giác đều cạnh \(2\sqrt 3  \Rightarrow AM = BM = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot 2\sqrt 3  = 3\).

Tam giác \(AMN\) vuông tại \(N\), có: \(MN = \sqrt {A{M^2} - A{N^2}}  = \sqrt {9 - \frac{{{x^2}}}{4}} \).

Lại có: \({S_{BCD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 3\sqrt 3 \).

\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH \cdot {S_{BCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{x\sqrt {36 - {x^2}} }}{6} \cdot 3\sqrt 3  = \frac{{\sqrt 3 }}{6}x\sqrt {36 - {x^2}} \).

Ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}x\sqrt {36 - {x^2}}  \le \frac{{\sqrt 3 }}{6} \cdot \frac{{{x^2} + 36 - {x^2}}}{2} = 3\sqrt 3 \).

Suy ra \({V_{ABCD}}\) lớn nhất bằng \(3\sqrt 3 \) khi \({x^2} = 36 - {x^2} \Rightarrow x = 3\sqrt 2 \).