Cho khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]. Khoảng cách từ \[C\] đến đường thẳng \[BB'\] bằng \[\sqrt 5 \], khoảng cách từ \[A\] đến các đường thẳng \[BB'\] và \[CC'\] lần lượt bằng \[1\] và \[2\], hình chiếu vuông góc của \[A\] lên mặt phẳng \[\left( {A'B'C'} \right)\] là trung điểm \[M\] của \[B'C'\] và \[A'M = \sqrt 5 \]. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?

Gọi \[J\], \[K\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên \[BB'\] và \[CC'\], \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[C\] lên \[BB'\]

Ta có \[AJ \bot BB'{\rm{   }}\left( 1 \right)\].

\[AK \bot CC' \Rightarrow AK \bot BB'{\rm{   }}\left( 2 \right)\].

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[BB' \bot \left( {AJK} \right)\]\[ \Rightarrow BB' \bot JK\]\[ \Rightarrow JK{\rm{//}}CH\]\[ \Rightarrow JK = CH = \sqrt 5 \].

Xét \[\Delta AJK\] có \[J{K^2} = A{J^2} + A{K^2} = 5\] suy ra \[\Delta AJK\] vuông tại \[A\].

Gọi \[F\] là trung điểm \[JK\] khi đó ta có \[AF = JF = FK = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\].

Gọi \[N\] là trung điểm \[BC\], xét tam giác vuông \[ANF\] ta có:

\[\cos \widehat {NAF} = \frac{{AF}}{{AN}}\]\[ = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{2}}}{{\sqrt 5 }}\]\[ = \frac{1}{2}\]\[ \Rightarrow \widehat {NAF} = {60^ \circ }\]. (\[AN = A'M = \sqrt 5 \] vì \[AN{\rm{//}}A'M\] và \[AN = A'M\]).

Vậy ta có \[{S_{\Delta AJK}} = \frac{1}{2}AJ.AK\]\[ = \frac{1}{2}.1.2 = 1\]\[ \Rightarrow {S_{\Delta AJK}} = {S_{\Delta ABC}}.\cos {60^ \circ }\]\[ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{S_{\Delta AJK}}}}{{\cos {{60}^ \circ }}} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\].

Xét tam giác \[AMA'\] vuông tại \[M\] ta có \[\widehat {MAA'} = \widehat {AMF} = {30^ \circ }\] hay \[AM = A'M.\tan {30^ \circ }\]\[ = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\].

Vậy thể tích khối lăng trụ là \[V = AM.{S_{\Delta ABC}}\]\[ = \frac{{\sqrt {15} }}{3}.2 = \frac{{2\sqrt {15} }}{3} \approx 2,58\].