Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\],cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(R = 5\). Chân các đường cao kẻ từ \(B,C\) lần lượt là \(H\left( {3;1} \right),K\left( {0; - 3} \right)\). Tính bình phương bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BCHK\), biết rằng điểm A có tung độ dương.

Không gian mẫu là \[C_{20}^5 = 15504\].

a) Đúng: Số cách chọn \[5\] học sinh nữ từ \[7\] học sinh nữ là \[C_7^5 = 21\].

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[5\] học sinh nữ là \[\frac{{21}}{{15504}} = \frac{7}{{5168}}\].

b) Đúng: Để chọn đúng \[3\] học sinh nam thì cô chủ nhiệm sẽ chọn \[3\] nam và \[2\] nữ.

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[3\] nam và \[2\] nữ là \[\frac{{C_{13}^3.C_7^2}}{{15504}} = \frac{{1001}}{{2584}}\].

c) Sai: Phần bù của biến cố “chọn được ít nhất \[1\] học sinh nữ là chọn được \[5\] học sinh nam”

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được ít nhất \[1\] học sinh nữ là \[\frac{{C_{20}^5 - C_{13}^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{4739}}{{5168}}\].

d) Đúng : Ta chia làm 3 trường hợp

Trường hợp 1: \[3\] nữ \[2\] nam

Trường hợp 2: \[4\] nữ \[1\] nam

Trường hợp 3: \[5\] nữ

Xác suất để cô chủ nhiệm số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là

\[\frac{{C_7^3.C_{13}^2 + C_7^4.C_{13}^1 + C_7^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{1603}}{{7752}}\].

Cách 1.

Để tính số cách chọn được 4 học sinh trong đó có đúng hai học sinh cùng lớp ta thực hiện như sau:

Trường hợp 1: Tính tổng tất cả số cách chọn ra 4 học sinh từ 16 học sinh có \[C_{16}^4 = 1820\]cách.

Trường hợp 2: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 2 lớp (hai cặp học sinh cùng lớp) có \[C_8^2 = 28\] cách (Mỗi cách chọn ra 2 lớp học từ 8 lớp học là một cách chọn ra hai cặp học sinh học cùng lớp)

Trường hợp 3: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 4 lớp khác nhau có \[C_8^4.2.2.2.2 = 1120\] cách

(Chọn 4 lớp từ 8 lớp có \[C_8^4\] cách, ứng với mỗi cách chọn ra 4 lớp thì mỗi lớp có 2 cách chọn một học sinh)

Từ đó suy ra số cách chọn 4 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh học cùng lớp là \[1820 - 28 - 1120 = 672\] cách.

Cách 2: Ta gọi 8 lớp 10 là A1, A2, A3,…, A8.

Chọn 2 học sinh của lớp A1, và chọn 2 học sinh không cùng lớp trong 7 lớp còn lại.

Có 1 cách chọn 2 học sinh lớp A1.

Trong 7 lớp còn lại có tất cả \[C_{14}^2\] cách chọn 2 học sinh trong đó có 7 cách chọn 2 học sinh cùng lớp suy ra trong 7 lớp còn lại có \[C_{14}^2 - 7 = 84\] cách chọn 2 học sinh không cùng lớp

Tương tự cho 7 trường hợp còn lại

Vậy có \[8.1.84 = 672\] cách.