Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và điểm \(M\left( { - 1;0;2} \right)\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \(IM = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}} = 3\).

b) Phương trình mặt cầu tâm \(I\) và đi qua điểm \(M\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).

c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 2\left( {x + 1} \right) + 2y - \left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 2y - z = 0\).

d) Gọi \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên trục \(Ox\). Khi đó \(M\left( {1;0;0} \right)\).

Suy ra \(IM = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} \).

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(MB = \sqrt 3 \).

Suy ra \(R = \sqrt {I{M^2} + M{B^2}} = \sqrt {16} \).

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\).