Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol \[y = f\left( x \right)\] và \[y = g\left( x \right)\] như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét). Bạn Hải cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi kí hợp đồng. Diện tích của logo là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trả lời: 9,8

Gọi parabol \(y = f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\). Parabol \(y = f\left( x \right)\) nhận \(Oy\) làm trục đối xứng nên ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\). Lại có đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) và điểm \(\left( {2;0} \right)\) nên \(a = \frac{1}{4}\) và \(c = - 1\).

Vậy parabol \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^2} - 1\).

Tương tự, ta cũng có parabol \(y = g\left( x \right) = - \frac{1}{4}{x^2} + 2\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là:

\(\frac{1}{4}{x^2} - 1 = - \frac{1}{4}{x^2} + 2 \Leftrightarrow x = \sqrt 6 \) hoặc \(x = - \sqrt 6 \).

Khi đó, diện tích của logo là:

\[\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left[ {\left( { - \frac{1}{4}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]dx} \\\,\,\, = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left( {3 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx = } \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } = 4\sqrt 6 \approx 9,8\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\end{array}\].