Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0; - 1;1} \right)\) và hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 1;0;2} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {2;1;0} \right)\).

Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí \(A\) cao \(15\;{\rm{m}}\) của tháp 1 này sang vị trí \(B\) cao \[10\;{\rm{m}}\] của tháp 2 trong khung cảnh đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của \(A\) và \(B\) lần lượt là \(\left( {3;2,5;15} \right)\) và \(B\left( {21;27,5;10} \right)\). Khi du khách ở độ cao 12 mét thì tọa độ của du khách lúc đó là \(M\left( {a;b;c} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b + c\).

Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật trong không gian. Cách thức hoạt động của GPS như sau: Trong cùng một thời điểm, vị trí M của một vật sẽ được xác định bằng 4 vệ tinh cho trước, các vệ tinh này có gắn máy thu tín hiệu, bằng cách so sánh thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận tín hiệu phản hồi thì sẽ xác định được khoảng cách từ các vệ tinh đến vị trí M. Như vậy, ví trí M là giao điểm của 4 mặt cầu có tâm là 4 vệ tinh đã cho. Giả sử trong không gian \(Oxyz\), 4 vệ tinh có tọa độ là \(A\left( { - 1;6;3} \right),B\left( {4;8;1} \right),C\left( {9;6;7} \right),D\left( { - 15;18;7} \right)\). Biết khoảng cách từ M đến các vệ tinh lần lượt là \(MA = 6,MB = 7,MC = 12,MD = 24\). Khi đó tọa độ điểm \(M\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = {x_M} + {y_M} + {z_M}\).

Biết hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2\) có một nguyên hàm là \(F\left( x \right)\) thỏa \(F\left( 1 \right) = 10\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{{x^2}}}\) thỏa mãn \(G\left( 1 \right) = F\left( 2 \right)\). Tính \(G\left( 3 \right)\). (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(F\left( x \right),G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(2F\left( 0 \right) - G\left( 0 \right) = 1\), \(F\left( 2 \right) - 2G\left( 2 \right) = 4\) và \(F\left( 1 \right) - G\left( 1 \right) = - 1\). Tính \(\int\limits_1^{{e^2}} {\,\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{{2x}}} \,{\rm{d}}x\).

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Nếu \(F\left( x \right) = {x^3} - 7x + 2{e^x} + C\) (\(C\) là hằng số) thì \(F\left( x \right)\) là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?