Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục tọa đô là km), một máy bay đang ở vị trí \(A\left( {3; - 2;1} \right)\) và sẽ hạ cánh ở vị trí \(B\left( {2; - 5;0} \right)\) trên đường băng. Có một đám mây được mô phỏng bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\) tại \(M\left( {\frac{{10}}{9}; - \frac{{25}}{9};\frac{7}{9}} \right)\). Tính độ cao của máy bay khi đi xuyên qua đám mây để hạ cánh (giả sử mặt đất ở vị trí máy bay đang bay được coi là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)).

Trả lời: 0,4

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {3; - 2;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 2 - 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\) có tâm \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {IM} = \left( { - \frac{8}{9}; - \frac{{16}}{9};\frac{{16}}{9}} \right) = - \frac{8}{9}\left( {1;2; - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {\frac{{10}}{9}; - \frac{{25}}{9};\frac{7}{9}} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x + 2y - 2z + 6 = 0\).

Giả sử H là giao điểm của \(AB\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi đó tọa độ H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 2 - 3t\\z = 1 - t\\x + 2y - 2z + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 2 - 3t\\z = 1 - t\\3 - t + 2\left( { - 2 - 3t} \right) - 2\left( {1 - t} \right) + 6 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 2 - 3t\\z = 1 - t\\5t = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{5}\\y = - \frac{{19}}{5}\\z = \frac{2}{5}\\t = \frac{3}{5}\end{array} \right.\). Suy ra \(H\left( {\frac{{12}}{5}; - \frac{{19}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).

Vậy độ cao của máy bay khi đi xuyên qua đám mây để hạ cánh là 0,4 km.