PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.

Cho hàm số bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị là một parabol (P) có đỉnh \(S\left( {1; - 2} \right)\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. Biết hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và đồ thị \(y = F\left( x \right)\) cũng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. Khi đó đồ thị hàm số \(y = F\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( {12;m} \right)\). Giá trị của \(m\) bằng bao nhiêu?

Trả lời: 4,5

Vì chiều cao của cổng bằng 4 m nên \(\left( P \right):y = a{x^2} + 4\).

Mà \(\left( {2;0} \right) \in \left( P \right)\) nên \(0 = a{.2^2} + 4 \Leftrightarrow a = - 1\). Do đó \(y = - {x^2} + 4\).

Do đó diện tích toàn bộ chiếc cổng là \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - {x^2} + 4} \right|} dx = \frac{{32}}{3}\).

Vì \(D \in \left( P \right)\) nên \(D\left( {a; - {a^2} + 4} \right),\left( {0 < a < 2} \right)\).

Suy ra \(FC = 2a;CD = 4 - {a^2}\). Do đó \({S_{CDEF}} = 2a.\left( {4 - {a^2}} \right) = 8a - 2{a^3}\).

Để chi phí phần trang trí là nhỏ nhất thì diện tích phần tô màu phải nhỏ nhất hay diện tích hình chữ nhật \(CDEF\) phải lớn nhất.

Xét hàm số \(f\left( a \right) = 8a - 2{a^3}\). Có \(f'\left( a \right) = 8 - 6{a^2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) vì \(0 < a < 2\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có diện tích \(CDEF\) lớn nhất bằng \(\frac{{32\sqrt 3 }}{9}\) khi \(a = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Khi đó diện tích phần tô màu là \({S_1} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - \frac{{32\sqrt 3 }}{9}\).

Chi phí tối thiểu là: \(\left( {\frac{{32}}{3} - \frac{{32\sqrt 3 }}{9}} \right).1000000 \approx 4,5\) triệu đồng.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \({S_{ODE}} = \frac{1}{2}OD.OE = \frac{1}{2}.4.3 = 6\).

b) Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua các điểm \(A\left( {2;4} \right),B\left( {4;0} \right),C\left( {1;3} \right)\) nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 4\\16a + 4b + c = 0\\a + b + c = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\\c = 0\end{array} \right.\).

Do đó \(\left( P \right):y = - {x^2} + 4x\).

Đường thẳng \(CB:y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( {4;0} \right);C\left( {1;3} \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\a + b = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\end{array} \right.\).

Do đó đường thẳng \(CB:y = - x + 4\).

Khi đó \(S = \int\limits_1^4 {\left| { - {x^2} + 4x - \left( { - x + 4} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^4 {\left( { - {x^2} + 5x - 4} \right)dx} = \frac{9}{2}\).

c) Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{4}{3}x + 4\;{\rm{khi}}\; - 3 \le x < 0\\y = - x + 4\;{\rm{khi}}\;0 \le x < 1\\y = - {x^2} + 4x\;{\rm{khi}}\;1 \le x \le 4\end{array} \right.\).

\(I = \int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} } \)

\( = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {\frac{4}{3}x + 4} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( { - x + 4} \right)dx + \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} } \)

\( = \frac{{16}}{3} + \frac{7}{2} + \frac{{22}}{3} = \frac{{97}}{6}\).

d) Ta có \({S_2} = \int\limits_1^4 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_1^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} = 9\).

Do đó \(3{S_1} = 2{S_2}\).