Có 40 tấm thẻ kích thước như nhau và đánh số thứ tự lần lượt từ 1 đến 40 (mỗi tấm thẻ chỉ ghi một số nguyên dương, hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Một người lần lượt rút hai thẻ (rút không hoàn lại). Tính xác suất lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;3; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\).

Mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;3} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \({d_2}\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;3; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 3y - z + 3 = 0\).

c) Giả sử \(d \cap {d_1} = M\). Khi đó \(M\left( {2 + t; - 1 - t;1 + t} \right)\).

Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {1 + t; - t;t - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Lại có \(d \bot {d_2}\) nên \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow \left( {1 + t} \right).3 + \left( { - t} \right).3 + \left( {t - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow t = 5\).

Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {6; - 5;3} \right)\).

d) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AM} = \left( {6; - 5;3} \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z - 3}}{3}\).

Thay tọa độ điểm \(K\left( {13; - 11;9} \right)\) vào phương trình đường thẳng d ta được

\(\frac{{13 - 1}}{6} = \frac{{ - 11 + 1}}{{ - 5}} = \frac{{9 - 3}}{3}\) (đúng). Do đó đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(K\left( {13; - 11;9} \right)\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t\) giây là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} \).

b) \(v\left( t \right) = \int {\frac{1}{{{t^2} + 3t + 2}}dt} \)\( = \int {\frac{1}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}}dt} \)\( = \int {\left( {\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{{t + 2}}} \right)dt} \)\( = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + C\).

Mà \({v_0} = 3\ln 2\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) nên \(\ln \frac{1}{2} + C = 3\ln 2 \Rightarrow C = 4\ln 2\).

Do đó \(v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2\).

c) Có \(v\left( {10} \right) = \ln \frac{{11}}{{12}} + 4\ln 2 \approx 2,69\;{\rm{m/s}}\).

d) \(v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2 = 4\ln 2\)\( \Rightarrow \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| = 0\)\( \Rightarrow \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| = 1\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = 1\\\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = - 1\end{array} \right.\) vô nghiệm.

Do đó không có thời điểm nào vận tốc của vật đạt \(v = 4\ln 2\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).