Một ô tô muốn đi từ địa điểm A đến địa điểm B, nhưng giữa A và B là một ngọn núi cao ô tô phải đi thành 2 đoạn từ A lên C (ô tô leo lên dốc núi) và từ C đến B (ô tô xuống núi). Các đoạn đường tạo thành tam giác \(ABC\) với \(AC = 15\;{\rm{km}},BC = 20\;{\rm{km}}{\rm{,}}\widehat {ACB} = 120^\circ \). Nếu người ta đào một đường hầm xuyên núi chạy thẳng từ A đến B thì ô tô chạy trên con đường mới này tiết kiệm được số tiền là bao nhiêu nghìn đồng? Biết trung bình cứ chạy 1 km, ô tô tiêu thụ hết 0,3 lít xăng. Giá thành xăng hiện nay là 25000 đồng một lít xăng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{h_a}BC = \frac{1}{2}{h_b}AC\)\( \Rightarrow \frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) (1).

Lại có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sin B}}{{\sin A}}\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} = \frac{{\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{\sin 45^\circ }}{{\sin 30^\circ }} = \sqrt 2  \approx 1,4\).

Trả lời: 1,4.

Lời giải

a) Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{{14}^2} + {{13}^2} - {{15}^2}}}{{2 \cdot 14 \cdot 13}} = \frac{5}{{13}}\).

b) Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{14 + 13 + 15}}{2} = 21\).

\({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}  = \sqrt {21\left( {21 - 14} \right)\left( {21 - 13} \right)\left( {21 - 15} \right)}  = 84\).

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4S}} = \frac{{14 \cdot 13 \cdot 15}}{{4 \cdot 84}} = \frac{{65}}{8}\).

d) Có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \Rightarrow h = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB}} = \frac{{2 \cdot 84}}{{14}} = 12\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.