Cho \({x^3} + {y^3} = 189\) và \(\left( {x + y} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 270\). Tính \(x + y.\)

Ta có biến đổi:

\({x^3} + {y^3} = 189 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = 189\)

\(\left( {x + y} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 270 \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + y + xy + 1} \right) = 270\)

Đặt \(a = x + y;b = xy\). , điều kiện bài toán trở thành:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} - 3ab = 189}\\{a\left( {a + b + 1} \right) = 270}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} - 3ab = 189\;\;\;\left( 1 \right)}\\{3{a^2} + 3ab + 3a = 810\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

Cộng (1) và (2) theo vế, ta được:

\({a^3} + 3{a^2} + 3a = 999 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^3} = 1000 \Leftrightarrow a + 1 = 10 \Leftrightarrow a = 9\).

Vậy \(a + y = a = 9.\)