Một nhà máy sản xuất ống thép khi xuất xưởng các ống thép được bó lại tạo thành khối gồm 37 ống như hình vẽ. Biết các ống có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng \(10\;cm\). Tính độ dài của một sơi dây đai để buột các ống thép lại với nhau.

a) Xét \(\Delta AHB\) vuông cân tại H có D là trung điểm \(AB \Rightarrow DA = DB = DH\)   (1).

Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên \(DH = DF\)   (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow DA = DH = DB = DF\).

Suy ra bốn điểm A, H, B, F cùng thuộc được tròn đường kính AB.

Vậy tứ giác ABFH nội tiếp.

b) Tứ giác ABFH nội tiếp (câu 6a) \( \Rightarrow \widehat {FBA} = \widehat {FHE}\)   (3).

Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên \(EH = EF.\)

Suy ra \(\Delta EHF\) cân tại E \( \Rightarrow \widehat {FHE} = \widehat {EFH}\)   (4).

Từ (3), (4) \( \Rightarrow \widehat {FBA} = \widehat {EFH}.\)

c) Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên

                \(\widehat {FDE} = \frac{1}{2}\widehat {HDF}\;\;\;\;\;\left( 5 \right)\)

Từ câu 6a, có A, H, B, F thuộc đường tròn tâm D đường kính AB nên

\(\widehat {HAF} = \frac{1}{2}\widehat {HDF}\;\;\;\left( 6 \right)\).

Từ (5), (6) \( \Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {HAF} = \widehat {EAF}.\)

Suy ra tứ giác FDAE nội tiếp.   (7)

Xét đường tròn (O) tâm O ngoại tiếp \(\Delta ABC\) có

            D là trung điểm dây AB \( \Rightarrow \widehat {ODA} = {90^0}\)

            E là trung điểm dây AC \( \Rightarrow \widehat {OEA} = {90^0}\)

Xét tứ giác ODAE có:

                                           \(\widehat {ODA} + \widehat {OEA} = {180^0}\)

Nên tứ giác ODAE nội tiếp đường tròn đường kính AO.    (8)

Kết hợp (7), (8)           \( \Rightarrow A,D,\;F,\;O,\;E\) cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

                                    \( \Rightarrow \widehat {AFO} = \widehat {ADO} = {90^0}\) (cùng chắn cung AO).

Mặt khác: \(\widehat {AFB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)

Suy ra: \(\widehat {AFO} + \widehat {AFB} = {180^0}\), nghĩa là B, F, O thẳng hàng.

Vậy BF đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)