Một nhà máy sản xuất ống thép khi xuất xưởng các ống thép được bó lại tạo thành khối gồm 37 ống như hình vẽ. Biết các ống có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng \(10\;cm\). Tính độ dài của một sơi dây đai để buột các ống thép lại với nhau.

D, C, E, F, O là tâm của một số ống thép.

Giả sử các ống thép tiếp xúc khít nhau và dây đai buộc chính xác.

Dễ thấy ABCD là hình chữ nhật.

   \( \Rightarrow AB = CD = 3d = 3.10 = 30\;\left( {cm} \right)\;\;\left( 1 \right)\)

Nên hiển hiên các điểm A, D, H, E thẳng hàng.

Xét \(\Delta DEF\) có:

\(DE = 2DH = 2\sqrt {O{D^2} - O{H^2}} = 2\sqrt {{{\left( {2r} \right)}^2} - {r^2}} = 2\sqrt {3r} = 10\sqrt 3 \;\left( {cm} \right)\)

Tương tự cũng tính được \(DF = 10\sqrt 3 \;\left( {cm} \right)\) và \(EF = 10\sqrt 3 \;\left( {cm} \right).\)

Như vậy \(DE = EF = DF = 10\sqrt 3 \;\left( {cm} \right)\) nên \(\Delta DEF\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {EDF} = {60^0}.\)

Suy ra \(\widehat {ADM} = \widehat {EDF} = {60^0}\) (đối đỉnh).

Chiều dài cung AM bằng

\(\frac{{\pi .5.60}}{{180}} = \frac{5}{3}\pi \;\;\left( {cm} \right)\;\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ hình vẽ, kết hợp (1) và (2) ta tính được chiều dài dây đai là:

                            \(l = 6.\frac{5}{3}\pi + 6.30 = 180 + 10\pi \;\left( {cm} \right).\)