Ông Hoàng có một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(60m\)và \(30m\). Ông chia thành hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với elip để làm mục đích sử dụng khác nhau ( xem hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phần trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích elip được tính theo công thức \(S = \pi ab\)trong đó \(a,b\)lần lượt là độ dài nửa trục lớn và nửa trục bé của elip. Biết độ rộng của đường elip không đáng kể.

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh học tìm được quy luật rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có \(n\) con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng \(P\left( n \right) = 360 - 10n\)(đơn vị khối lượng). Hỏi người nuôi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích để trọng lượng cá sau mỗi vụ thu được là nhiều nhất?

Cho tập hợp \(A = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\).

a) Từ \(A\) lập được 25 số có hai chữ số.

b) Từ \(A\) lập được 125 số có ba chữ số khác nhau.

c) Từ \(A\) lập được 24 số chẵn có ba chữ số khác nhau.

d) Từ \(A\) lập được 101 số lẻ có ba chữ số khác nhau.

Bộ bài tú lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Hãy xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Xác suất của biến cố \(A\): “Rút ra được tứ quý Át” là \(\frac{1}{{52}}\)

b) Xác suất của biến cố \(B\): “Rút ra được hai quân Át, hai quân \(K\)” là \[\frac{{36}}{{270725}}\]

c) Xác suất của biến cố \(C\): “Rút ra được ít nhất một quân Át” là \(\frac{{38916}}{{54145}}\)

d) Xác suất của biến cố \(D\): “Rút ra được 4 quân trong đó có đúng 2 quân ở cùng một tứ quý và hai quân còn lại ở hai tứ quý khác nhau” là \[\frac{{82368}}{{270725}}\]

Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2x\). Điểm \(M\left( {a;\,b} \right)\) thuộc parabol \(\left( P \right)\) và cách đường chuẩn của \(\left( P \right)\) một khoảng bằng \(2\) (trong đó \(a,b\) là các số thực). Tính \(T = {a^2} + {b^2}\).

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \[ABC\] có \[A\left( {2\,;\,0} \right),\,\,B\left( {0\,;\,3} \right)\] và \[C\left( {--3\,;\,1} \right)\].

a) Phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua \[B\] và song song với \[AC\] là \(x + 5y - 15 = 0\).

b) Phương trình của đường trung trực đoạn thẳng \(BC\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{2} + 2t\\y = 2 - 3t\end{array} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\).

c) Đường thẳng \(AB\) có phương trình là \(3x + 2y + 6 = 0\).

d) Đường cao ứng với đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\) đi qua điểm \(M\left( {2;3} \right)\).