a) Chứng minh tổng \[{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {102^3} + {103^3} + {104^3}\] chia hết cho \(7\).
b) Cho\(P(x) = {x^{81}} + a{x^{57}} + b{x^{41}} + c{x^{19}} + 2x + 1\)và \(Q(x) = {x^{81}} + a{x^{57}} + b{x^{41}} + c{x^{19}} + dx + e,\)với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d,\,\,e\)là các số thực.
Biết \(P(x)\)chia cho \((x - 1)\) thì số dư là \(5\)và chia cho \((x - 2)\) thì số dư là \( - 4.\) Đồng thời \(Q(x)\) chia hết cho \((x - 1)(x - 2)\). Hãy xác định các hệ số \(d,\,\,e.\)
b) Cho\(P(x) = {x^{81}} + a{x^{57}} + b{x^{41}} + c{x^{19}} + 2x + 1\)và \(Q(x) = {x^{81}} + a{x^{57}} + b{x^{41}} + c{x^{19}} + dx + e,\)với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d,\,\,e\)là các số thực.
Biết \(P(x)\)chia cho \((x - 1)\) thì số dư là \(5\)và chia cho \((x - 2)\) thì số dư là \( - 4.\) Đồng thời \(Q(x)\) chia hết cho \((x - 1)(x - 2)\). Hãy xác định các hệ số \(d,\,\,e.\)Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
Ta có: \[\begin{array}{l}{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {102^3} + {103^3} + {104^3}\\ = \left( {{1^3} + {{104}^3}} \right) + \left( {{2^3} + {{103}^3}} \right) + \left( {{3^3} + {{102}^3}} \right) + ... + \left( {{{52}^3} + {{53}^3}} \right)\end{array}\] |
|
\[ = 105.{A_1} + 105.{A_2} + 105.{A_3} + ... + 105.{A_{52}}\] (Với A1, A2, A3, ..., A52 là các số tự nhiên) |
|
\[ = 105.\left( {{A_1} + {A_2} + {A_3} + ... + {A_{52}}} \right)\] |
|
\[ = 7.15.\left( {{A_1} + {A_2} + {A_3} + ... + {A_{52}}} \right)\,\, \vdots \,\,7\] |
|
Cho\(P(x) = {x^{81}} + a{x^{57}} + b{x^{41}} + c{x^{19}} + 2x + 1\)và \(Q(x) = {x^{81}} + a{x^{57}} + b{x^{41}} + c{x^{19}} + dx + e,\)với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d,\,\,e\)là các số thực. Biết \(P(x)\)chia cho \((x - 1)\) thì số dư là \(5\)và chia cho \((x - 2)\) thì số dư là \( - 4.\) Đồng thời \(Q(x)\) chia hết cho \((x - 1)(x - 2)\). Hãy xác định các hệ số \(d,\,\,e.\) |
|
Ta có: \(Q(x) = P(x) + \left( {d - 2} \right)x + e - 1\) \(P\left( 1 \right) = 5,\,\,P\left( 2 \right) = - 4\) |
|
\(Q\left( 1 \right) = 0,\,\,Q\left( 2 \right) = 0\) |
|
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5 + d + e - 3 = 0\\ - 4 + 2d + e - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d + e = - 2\\2d + e = 9\end{array} \right.\) |
|
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 11\\e = - 13\end{array} \right.\) |
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
|
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x(y + 2) + 2 = 5y\\{(xy - 1)^2} + 3(1 - {y^2}) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + 2x + 2 = 5y\\{x^2}{y^2} - 2xy + 4 = 3{y^2}\end{array} \right.\] |
|
+ Với \[y = 0\] thì hệ vô nghiệm + Với \[y \ne 0\] hệ đã cho trở thành \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{2x}}{y} + \frac{2}{y} = 5\\{x^2} - \frac{{2x}}{y} + \frac{4}{{{y^2}}} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{2}{y} + 2\frac{x}{y} = 5\\{\left( {x + \frac{2}{y}} \right)^2} - 6\frac{x}{y} = 3\end{array} \right.\] Đặt : \[\left\{ \begin{array}{l}a = x + \frac{2}{y}\\b = \frac{x}{y}\end{array} \right.\] Khi đó, hệ trở thành |
|
Từ (1) ta có: Thay (*) vào (2) ta được \[4{b^2} - 26b + 22 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = \frac{{11}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = 3\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{11}}{2}\\a = - 6\end{array} \right.\] + Với \[\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{2}{y} = 3\\\frac{x}{y} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{2}{x} = 3\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\] |
|
+ Với \[\left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = \frac{{11}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{2}{y} = - 6\\\frac{x}{y} = \frac{{11}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{11y}}{2} + \frac{2}{y} = - 6\\x = \frac{{11y}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11{y^2} + 12y + 4 = 0\,\,\,\,\,(3){\rm{ }}\\x = \frac{{11y}}{2}\end{array} \right.\] Phương trình (3) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. Vậy \[(1;1),\,\,(2;2)\]là nghiệm của hệ phương trình. ( Nếu học sinh quên xét điều kiện nhưng giải đúng hoàn toàn thì trừ 0,25 điểm toàn bài). |
Lời giải
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi\(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 2m + 3 > 0 \Leftrightarrow 4 > 0,\,\forall m\)
Với \({x_1},\,\,{x_2}\)là hai nghiệm phân biệt của phương trình, áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = {m^2} + 2m - 3\end{array} \right.\)
Khi đó: \(x_1^2 + x_2^2 = 16\)
\(\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = 16\\ \Leftrightarrow {\left[ { - 2\left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 2\left( {{m^2} + 2m - 3} \right) = 16\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 2{m^2} - 4m + 6 = 16\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 6 = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\). Vậy \(m \in \left\{ { - 3\,;\,1} \right\}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập