a) Chứng minh tổng \[{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {102^3} + {103^3} + {104^3}\] chia hết cho \(7\).

b) Cho\(P(x) = {x^{81}} + a{x^{57}} + b{x^{41}} + c{x^{19}} + 2x + 1\)và \(Q(x) = {x^{81}} + a{x^{57}} + b{x^{41}} + c{x^{19}} + dx + e,\)với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d,\,\,e\)là các số thực.

Biết \(P(x)\)chia cho \((x - 1)\) thì số dư là \(5\)và chia cho \((x - 2)\) thì số dư là \( - 4.\) Đồng thời \(Q(x)\) chia hết cho \((x - 1)(x - 2)\). Hãy xác định các hệ số \(d,\,\,e.\)

Ta có:

 \[\begin{array}{l}{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {102^3} + {103^3} + {104^3}\\ = \left( {{1^3} + {{104}^3}} \right) + \left( {{2^3} + {{103}^3}} \right) + \left( {{3^3} + {{102}^3}} \right) + ... + \left( {{{52}^3} + {{53}^3}} \right)\end{array}\]

\[ = 105.{A_1} + 105.{A_2} + 105.{A_3} + ... + 105.{A_{52}}\]

 (Với A1, A2, A3, ..., A52  là các số tự nhiên)

\[ = 105.\left( {{A_1} + {A_2} + {A_3} + ... + {A_{52}}} \right)\]

\[ = 7.15.\left( {{A_1} + {A_2} + {A_3} + ... + {A_{52}}} \right)\,\, \vdots \,\,7\]

Cho\(P(x) = {x^{81}} + a{x^{57}} + b{x^{41}} + c{x^{19}} + 2x + 1\)và \(Q(x) = {x^{81}} + a{x^{57}} + b{x^{41}} + c{x^{19}} + dx + e,\)với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d,\,\,e\)là các số thực.

Biết \(P(x)\)chia cho \((x - 1)\) thì số dư là \(5\)và chia cho \((x - 2)\) thì số dư là \( - 4.\) Đồng thời \(Q(x)\) chia hết cho \((x - 1)(x - 2)\). Hãy xác định các hệ số \(d,\,\,e.\)

Ta có: \(Q(x) = P(x) + \left( {d - 2} \right)x + e - 1\)

\(P\left( 1 \right) = 5,\,\,P\left( 2 \right) =  - 4\)

\(Q\left( 1 \right) = 0,\,\,Q\left( 2 \right) = 0\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5 + d + e - 3 = 0\\ - 4 + 2d + e - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d + e =  - 2\\2d + e = 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 11\\e =  - 13\end{array} \right.\)