Bạn Tuấn lập kế hoạch tiết kiệm tiền để mua một cái laptop phục vụ cho việc học tập như sau: Hằng tháng, Tuấn tiết kiệm các khoản chi tiêu cá nhân để dành ra một triệu đồng. Vào ngày 01 hằng tháng Tuấn gửi vào tài khoản tiết kiệm của mình một triệu đồng và bắt đầu gửi vào ngày 01 tháng 7 năm 2023 để hưởng lãi suất 0,5%/tháng theo hình thức lãi kép (nghĩa là tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn để tính lãi cho tháng sau) và duy trì việc này liên tục trong 3 năm. (Biết tài khoản ban đầu của Tuấn là 0 đồng và hàng tháng Tuấn không rút vốn, lãi).

a)Tính số tiền tiết kiệm Tuấn có được trong tài khoản tính đến ngày 02/8/2023.

b)Hãy đề xuất công thức tính tổng số tiền trong tài khoản tiết kiệm sau kỳ gửi tháng thứ \(n\)(\(n\)là số tự nhiên, \(n \ge 3\)). Sử dụng công thức đó để tính số tiền Tuấn có được trong tài khoản tính đến ngày 02/7/2026.

Ta có: \(\widehat {OAM} = {90^0}\)(tính chất của tiếp tuyến)

            \(MA = MB\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(OA = OB\)

\( \Rightarrow OM\)là trung trực \(AB\) hay \(OM \bot AB\) tại \(H\)

\( \Rightarrow A{M^2} = MH.MO\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow MH.MO = MC.MD\,\left( { = M{A^2}} \right)\)

\(\frac{{MH}}{{MC}} = \frac{{MD}}{{MO}}\) và \(\widehat {DMO}\) chung

 (c-g-c)

\( \Rightarrow \widehat {MDH} = \widehat {MOC}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {CDH} = \widehat {HOC}\)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(DOHC\) nội tiếp đường tròn

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x(y + 2) + 2 = 5y\\{(xy - 1)^2} + 3(1 - {y^2}) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + 2x + 2 = 5y\\{x^2}{y^2} - 2xy + 4 = 3{y^2}\end{array} \right.\]

+ Với \[y = 0\] thì hệ vô nghiệm

+ Với \[y \ne 0\] hệ đã cho trở thành \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{2x}}{y} + \frac{2}{y} = 5\\{x^2} - \frac{{2x}}{y} + \frac{4}{{{y^2}}} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{2}{y} + 2\frac{x}{y} = 5\\{\left( {x + \frac{2}{y}} \right)^2} - 6\frac{x}{y} = 3\end{array} \right.\]

Đặt : \[\left\{ \begin{array}{l}a = x + \frac{2}{y}\\b = \frac{x}{y}\end{array} \right.\]    Khi đó, hệ trở thành $\left\{\begin{array}{l}a+2b=5\text{ (1)}\\ a^2-6b=3\text{ (2)}\end{array}\right.$

Từ (1) ta có: $a=5-2b\text{ (*)}$

Thay (*) vào (2) ta được \[4{b^2} - 26b + 22 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = \frac{{11}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = 3\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{11}}{2}\\a = - 6\end{array} \right.\]

+ Với \[\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{2}{y} = 3\\\frac{x}{y} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{2}{x} = 3\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]

+ Với \[\left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = \frac{{11}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{2}{y} = - 6\\\frac{x}{y} = \frac{{11}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{11y}}{2} + \frac{2}{y} = - 6\\x = \frac{{11y}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11{y^2} + 12y + 4 = 0\,\,\,\,\,(3){\rm{ }}\\x = \frac{{11y}}{2}\end{array} \right.\]

Phương trình (3) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.

Vậy \[(1;1),\,\,(2;2)\]là nghiệm của hệ phương trình.

( Nếu học sinh quên xét điều kiện nhưng giải đúng hoàn toàn thì trừ 0,25 điểm toàn bài).