Một căn bệnh có \(1{\rm{\% }}\) dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là \(99{\rm{\% }}\). Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính \(99{\rm{\% }}\) số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 99 trong 100 trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh) thì xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Áp dụng công thức Bayes: \({\rm{P}}\left( {A\mid B} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( A \right).{\rm{P}}\left( {B\mid A} \right)}}{{{\rm{P}}\left( A \right).{\rm{P}}\left( {B|A} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline A } \right).{\rm{P}}\left( {B\mid \overline A } \right)}}\).

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố: "Người đó mắc bệnh".

Gọi \(B\) là biến cố "Kết quả kiểm tra người đó là dương tính".

Ta có \({\rm{P}}\left( A \right) = 1{\rm{\% }} = 0,01,\,\,{\rm{P}}\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,01 = 0,99\).

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là \({\rm{P}}\left( {B\mid A} \right) = 99{\rm{\% }} = 0,99\).

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là

\({\rm{P}}\left( {B\mid \overline A } \right) = 1 - 0,99 = 0,01\).

\({\rm{P}}\left( {A\mid B} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( A \right).{\rm{P}}\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( A \right).{\rm{P}}\left( {B|A} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline A } \right).{\rm{P}}\left( {B\mid \overline A } \right)}}\)

\( = \frac{{0,01.0,99}}{{0,01.0,99 + 0,99.0,01}} = 0,5\)

Vậy xác suất kết để người đó mắc bệnh nếu kết quả kiểm tra người đó là dương tính là 0,5.