Cho hàm số \(y =  - {x^3} + 2x - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(\Delta :x + y + 4 = 0.\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(y' = f'(x) =  - 3{x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R}.\)

\(\Delta \): \(x + y + 4 = 0 \Rightarrow y =  - x - 4 \Rightarrow \)\(\Delta \)có hệ số góc \({k_\Delta } =  - 1.\)

Gọi \(d\) là tiếp tuyến thỏa mãn đề bài.

Giả sử \(d\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)thì \(d\) có hệ số góc là \({k_d} = f'({x_0}) =  - 3{x_0}^2 + 2\).

\(d{\rm{//}}\Delta  \Rightarrow \) \({k_d} = {k_\Delta } \Leftrightarrow  - 3{x_0}^2 + 2 =  - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} =  - 1\end{array} \right..\)

\({x_0} = 1 \Rightarrow M\left( {1; - 1} \right) \Rightarrow d:y =  - x\), thỏa mãn \(d{\rm{//}}\Delta .\)

\({x_0} =  - 1 \Rightarrow M\left( { - 1; - 3} \right) \Rightarrow d:y =  - x - 4\), trường hợp này \(d \equiv \Delta \) nên không thỏa mãn.

Vậy có duy nhất một tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là \(d:y =  - x.\)