1. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m + 2)x – m − 8 (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung, có hoành độ x1, x2 thỏa mãn \(x_1^3\) – x2 = 0.

2. Tìm các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình 2024(x2 + y2) – 2023(2xy + 1) = 5.

1.  1)Ta có phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = (m + 2)x - m - 8\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 8 = 0\)

Vì phương trình có hai nghiệm nằm bên phải trục tung nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\m + 2 > 0\\m + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 28 > 0\\m + 2 > 0\\m + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 7 \\m >  - 2\\m >  - 8\end{array} \right. \Rightarrow m > 2\sqrt 7 \)

Áp dụng Vi-et và kết hợp giả thiết ta có :

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^3 - {x_2} = 0(1)\\{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = m + 8\end{array} \right. \Rightarrow \left( I \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt[4]{{m + 8}}\\{x_2} = {\left( {\sqrt[3]{{m + 8}}} \right)^3}\end{array} \right.\). Thay vào (1) ta có :

\(\sqrt[4]{{m + 8}} + {\left( {\sqrt[4]{{m + 8}}} \right)^3} = m + 2\). Đặt \(\sqrt[4]{{m + 8}} = a\left( {a > \sqrt[4]{{2\sqrt 7  + 8}}} \right)\). Phương trình trở thành :

\(\begin{array}{l}a + {a^3} = {a^4} - 6 \Leftrightarrow {a^4} - {a^3} - a - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {{a^3} + {a^2} + 2a + 3} \right) = 0 \Rightarrow a = 2\end{array}\)

\(a = 2 \Rightarrow \sqrt[4]{{m + 8}} = 2 \Leftrightarrow m = 8(tmdk)\)

Vậy \(m = 8\)

2)

2024(x2 + y2) – 2023(2xy + 1) = 5

Û x2 + y2 + 2023(x2 + y2) – 2023.2xy – 2023 = 5

Û x2 + y2 + 2023(x2 + y2 – 2xy) = 5 + 2023

Û x2 + y2 + 2023(x – y)2 = 2028       (*)

Vì x, y Î Z. Do đó \(\left| {x - y} \right|\) là số tự nhiên

Nhận xét: Nếu \(\left| {x - y} \right|\) ³ 2 thì (x – y)2 ³ 4 Þ 2023(x – y)2 ³ 8092

Do đó x2 + y2 + 2023(x – y)2 > 2028

Nên (*) không xảy ra. Nên \(\left| {x - y} \right|\) £ 1

Vậy có \(\left| {x - y} \right|\) Î {0;1}

* Xét \(\left| {x - y} \right|\) = 0. Ta có: \(x - y\) = 0 Û x = y

Với x = y, từ (*) có 2x2 = 2028 mà x;y Î Z nên loại.

* Xét \(\left| {x - y} \right|\) = 1 Û\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 1\;\;\;}\\{x - y =  - 1}\end{array}} \right.\)

Với x = y, từ (*) có x2 + (x – y)2 = 5 Û 2x2 + 2x + 1 = 5

+ Xét y = x – 1. Ta có x2 + (x – 1)2 = 5 Þ 2x2 + 2x + 1 = 5   

Û x2 – x – 2 = 0 Û \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\;\;\;}\\{x =  - 1}\end{array}} \right.\). Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\;\;y = 2\;\;\;\;}\\{x =  - 1y =  - 1}\end{array}} \right.\)

Vậy các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là (–1; –2), (2;1), (1;2), (–2; –1)