1. Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn (O;R), H là trung điểm của cạnh BC. M là điểm bất kì thuộc đoạn BH (M khác B). Lấy điểm N thuộc đoạn CA sao cho CN = BM . Gọi I là trung điểm của đoạn MN.

a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh diện tích tam giác 14B không đổi. Xác định vị trí của điểm M để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất.

2. Có một bình thủy tinh hình trụ cao 30cm chứa nước, diện tích đáy bình bằng  diện tích xung quanh, mặt nước cách đáy bình là 18cm (hình vẽ bên). Cần đổ thêm bao nhiêu lít nước nữa để nước vừa đầy bình (Bỏ qua bề dày của bình, cho t = 3,14 và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) ?

Theo bài ra, ta có:  a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 3abc Û \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) = 3

Đặt \(\frac{1}{a}\) là x; \(\frac{1}{b}\) là y; \(\frac{1}{c}\) là z (x, y, z > 0; x + y + z = 3)

Suy ra: \(\sqrt {\frac{a}{{3{b^2}{c^2} + abc}}} \) + \(\sqrt {\frac{{\frac{1}{x}}}{{\frac{3}{{{y^2}{z^2}}}\; + \frac{1}{{xyz}}}}} \) + \(\sqrt {\frac{{{y^2}{z^2}}}{{x\left( {x + y + z} \right) + yz}}} \) = \(\sqrt {\frac{{{y^2}{z^2}}}{{3x + xy}}} \)

Suy ra: T £ \(\frac{1}{2}\left( {\frac{{yz + zx}}{{x + y}} + \frac{{yz + yx}}{{x + z}} + \frac{{xy + zx}}{{y + z}}} \right)\) = \(\frac{1}{2}\) (x + y + z) = \(\frac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = 1

1.  1)Ta có phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = (m + 2)x - m - 8\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 8 = 0\)

Vì phương trình có hai nghiệm nằm bên phải trục tung nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\m + 2 > 0\\m + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 28 > 0\\m + 2 > 0\\m + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 7 \\m >  - 2\\m >  - 8\end{array} \right. \Rightarrow m > 2\sqrt 7 \)

Áp dụng Vi-et và kết hợp giả thiết ta có :

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^3 - {x_2} = 0(1)\\{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = m + 8\end{array} \right. \Rightarrow \left( I \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt[4]{{m + 8}}\\{x_2} = {\left( {\sqrt[3]{{m + 8}}} \right)^3}\end{array} \right.\). Thay vào (1) ta có :

\(\sqrt[4]{{m + 8}} + {\left( {\sqrt[4]{{m + 8}}} \right)^3} = m + 2\). Đặt \(\sqrt[4]{{m + 8}} = a\left( {a > \sqrt[4]{{2\sqrt 7  + 8}}} \right)\). Phương trình trở thành :

\(\begin{array}{l}a + {a^3} = {a^4} - 6 \Leftrightarrow {a^4} - {a^3} - a - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {{a^3} + {a^2} + 2a + 3} \right) = 0 \Rightarrow a = 2\end{array}\)

\(a = 2 \Rightarrow \sqrt[4]{{m + 8}} = 2 \Leftrightarrow m = 8(tmdk)\)

Vậy \(m = 8\)

2)

2024(x2 + y2) – 2023(2xy + 1) = 5

Û x2 + y2 + 2023(x2 + y2) – 2023.2xy – 2023 = 5

Û x2 + y2 + 2023(x2 + y2 – 2xy) = 5 + 2023

Û x2 + y2 + 2023(x – y)2 = 2028       (*)

Vì x, y Î Z. Do đó \(\left| {x - y} \right|\) là số tự nhiên

Nhận xét: Nếu \(\left| {x - y} \right|\) ³ 2 thì (x – y)2 ³ 4 Þ 2023(x – y)2 ³ 8092

Do đó x2 + y2 + 2023(x – y)2 > 2028

Nên (*) không xảy ra. Nên \(\left| {x - y} \right|\) £ 1

Vậy có \(\left| {x - y} \right|\) Î {0;1}

* Xét \(\left| {x - y} \right|\) = 0. Ta có: \(x - y\) = 0 Û x = y

Với x = y, từ (*) có 2x2 = 2028 mà x;y Î Z nên loại.

* Xét \(\left| {x - y} \right|\) = 1 Û\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 1\;\;\;}\\{x - y =  - 1}\end{array}} \right.\)

Với x = y, từ (*) có x2 + (x – y)2 = 5 Û 2x2 + 2x + 1 = 5

+ Xét y = x – 1. Ta có x2 + (x – 1)2 = 5 Þ 2x2 + 2x + 1 = 5   

Û x2 – x – 2 = 0 Û \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\;\;\;}\\{x =  - 1}\end{array}} \right.\). Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\;\;y = 2\;\;\;\;}\\{x =  - 1y =  - 1}\end{array}} \right.\)

Vậy các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là (–1; –2), (2;1), (1;2), (–2; –1)