Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Hưng Yên có đáp án

a) Ta có: P = \(\frac{x}{{\sqrt x - 1}}\) + \(\frac{2}{{\sqrt x - 2}}\) + \(\frac{{2x - x\sqrt x - 2}}{{x - 3\sqrt x + 2}}\) x ³ 0, x\( \ne \)1, x\( \ne \)4

P = \(\frac{x}{{\sqrt x - 1}}\) + \(\frac{2}{{\sqrt x - 2}}\) + \(\frac{{2x - x\sqrt x - 2}}{{x - 3\sqrt x + 2}}\)

P = \(\frac{{x\left( {\sqrt x - 2} \right) + 2\left( {\sqrt x - 1} \right) + 2x - x\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

P = \(\frac{{x\sqrt x + 2x - 2\sqrt x - 2 + 2x - x\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

P = \(\frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\) + \(\frac{2}{{\sqrt x - 1}}\)

b) \(\left| P \right|\) – P = 0 Û \(\left| P \right|\) = P Û P > 0

Û \(\frac{2}{{\sqrt x - 1}}\) > 0 Û \(\sqrt x \) > 1 Û x > 1

Kết hợp với ĐKXĐ: x\( \ne \)1, x\( \ne \)4

1.  1)Ta có phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = (m + 2)x - m - 8\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 8 = 0\)

Vì phương trình có hai nghiệm nằm bên phải trục tung nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\m + 2 > 0\\m + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 28 > 0\\m + 2 > 0\\m + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 7 \\m >  - 2\\m >  - 8\end{array} \right. \Rightarrow m > 2\sqrt 7 \)

Áp dụng Vi-et và kết hợp giả thiết ta có :

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^3 - {x_2} = 0(1)\\{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = m + 8\end{array} \right. \Rightarrow \left( I \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt[4]{{m + 8}}\\{x_2} = {\left( {\sqrt[3]{{m + 8}}} \right)^3}\end{array} \right.\). Thay vào (1) ta có :

\(\sqrt[4]{{m + 8}} + {\left( {\sqrt[4]{{m + 8}}} \right)^3} = m + 2\). Đặt \(\sqrt[4]{{m + 8}} = a\left( {a > \sqrt[4]{{2\sqrt 7  + 8}}} \right)\). Phương trình trở thành :

\(\begin{array}{l}a + {a^3} = {a^4} - 6 \Leftrightarrow {a^4} - {a^3} - a - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {{a^3} + {a^2} + 2a + 3} \right) = 0 \Rightarrow a = 2\end{array}\)

\(a = 2 \Rightarrow \sqrt[4]{{m + 8}} = 2 \Leftrightarrow m = 8(tmdk)\)

Vậy \(m = 8\)

2)

2024(x2 + y2) – 2023(2xy + 1) = 5

Û x2 + y2 + 2023(x2 + y2) – 2023.2xy – 2023 = 5

Û x2 + y2 + 2023(x2 + y2 – 2xy) = 5 + 2023

Û x2 + y2 + 2023(x – y)2 = 2028       (*)

Vì x, y Î Z. Do đó \(\left| {x - y} \right|\) là số tự nhiên

Nhận xét: Nếu \(\left| {x - y} \right|\) ³ 2 thì (x – y)2 ³ 4 Þ 2023(x – y)2 ³ 8092

Do đó x2 + y2 + 2023(x – y)2 > 2028

Nên (*) không xảy ra. Nên \(\left| {x - y} \right|\) £ 1

Vậy có \(\left| {x - y} \right|\) Î {0;1}

* Xét \(\left| {x - y} \right|\) = 0. Ta có: \(x - y\) = 0 Û x = y

Với x = y, từ (*) có 2x2 = 2028 mà x;y Î Z nên loại.

* Xét \(\left| {x - y} \right|\) = 1 Û\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 1\;\;\;}\\{x - y =  - 1}\end{array}} \right.\)

Với x = y, từ (*) có x2 + (x – y)2 = 5 Û 2x2 + 2x + 1 = 5

+ Xét y = x – 1. Ta có x2 + (x – 1)2 = 5 Þ 2x2 + 2x + 1 = 5   

Û x2 – x – 2 = 0 Û \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\;\;\;}\\{x =  - 1}\end{array}} \right.\). Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\;\;y = 2\;\;\;\;}\\{x =  - 1y =  - 1}\end{array}} \right.\)

Vậy các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là (–1; –2), (2;1), (1;2), (–2; –1)

1.

ĐKXĐ: \(\forall \)x Î R

3x³ – 7x² + 6x + 4 = 3\(\sqrt[3]{{\frac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}}}\)

$\Rightarrow$ 3x³ + 9x² + 12x + 6 = 16x² + 6x + 2 + 3\(\sqrt[3]{{\frac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}}}\)

Đặt \(\sqrt[3]{{\frac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}}}\) = t , ta có:

3x³ + 9x² + 12x + 6 = 3t³ + 3t

$\iff$ x³ + 3x² + 4x + 2 = t³ + t

$\iff$ (x + 1)³ + (x + 1) = t³ + t

$\iff$ (x + 1 – t) [(x + 1)² – (x + 1)t + t² +1] = 0

Mà (x + 1)² – (x + 1)t + t² +1 > 0 Þ x + 1 – t = 0

$\Rightarrow$ x + 1 = t

$\iff$ x + 1 = \(\sqrt[3]{{\frac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}}}\)

$\iff$ 3x³ + 9x² + 12x + 6 = 16x² + 6x + 2

$\iff$ 3x³ – 7x² + 3x + 1 = 0

$\iff$ 3x³ – 3x² – 4x² + 4x – x + 1 = 0

$\iff$ (x – 1)( 3x² – 4x + 1) = 0

$\Rightarrow$ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1\;\;\;\;\;}\\{x = \frac{{2 + \sqrt 7 }}{3}}\\{x = \frac{{2 - \sqrt 7 }}{3}}\end{array}} \right.\)

Thử lại thấy cả 3 nghiệm thoả mãn.

Vậy x $\in$ \(\left\{ {1;\;\frac{{2 + \sqrt 7 }}{3};\;\frac{{2 - \sqrt 7 }}{3}\;} \right\}\)

\(\begin{array}{l}2.\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\left( 1 \right)\\2{x^2} + {y^2} - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + 3\left( {1 - y} \right)x + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1 - y} \right)\left( {2x + 1 - y} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{y - 1}}{2}\\x = y - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x + 1 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {2x + 1} \right)^2} + x + 2x + 1 = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow y = - 3\\x = \frac{3}{5} \Rightarrow y = \frac{{11}}{5}\end{array} \right.\\y = x + 1 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + x + x + 1 = 8 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 2\\x = - 3;y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\(x;y) \in \left\{ {\left( { - 2; - 3} \right);\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right);\left( {1;2} \right);\left( { - 3; - 2} \right)} \right\}\end{array}\)

Theo bài ra, ta có:  a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 3abc Û \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) = 3

Đặt \(\frac{1}{a}\) là x; \(\frac{1}{b}\) là y; \(\frac{1}{c}\) là z (x, y, z > 0; x + y + z = 3)

Suy ra: \(\sqrt {\frac{a}{{3{b^2}{c^2} + abc}}} \) + \(\sqrt {\frac{{\frac{1}{x}}}{{\frac{3}{{{y^2}{z^2}}}\; + \frac{1}{{xyz}}}}} \) + \(\sqrt {\frac{{{y^2}{z^2}}}{{x\left( {x + y + z} \right) + yz}}} \) = \(\sqrt {\frac{{{y^2}{z^2}}}{{3x + xy}}} \)

Suy ra: T £ \(\frac{1}{2}\left( {\frac{{yz + zx}}{{x + y}} + \frac{{yz + yx}}{{x + z}} + \frac{{xy + zx}}{{y + z}}} \right)\) = \(\frac{1}{2}\) (x + y + z) = \(\frac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = 1