(2,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\). Từ \(A\) vẽ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,C\) là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC.\) Từ \(B\) vẽ đường kính \(BD\) của \(\left( O \right)\), đường thẳng \(AD\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\) (\(E\) khác \[D\]).
a) Chứng minh rằng \(OA \bot BC\) tại \(H\).
(2,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\). Từ \(A\) vẽ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,C\) là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC.\) Từ \(B\) vẽ đường kính \(BD\) của \(\left( O \right)\), đường thẳng \(AD\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\) (\(E\) khác \[D\]).
a) Chứng minh rằng \(OA \bot BC\) tại \(H\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có: \[AB,AC\] lần lượt là tiếp tuyến tại \[B,C\] nên \[AB = AC\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .
Suy ra \[A\] thuộc đường trung trực của \[BC\].
Mà \[OB = OC = R\] nên \[O\] thuộc đường trung trực của \[BC\]
Do đó \[OA\] là đường trung trực của \[BC\] nên \[OA \bot BC\] tại \[H\].
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
b) Chứng minh \[\widehat {ABE} = \widehat {ADB}\] và \(AE.AD = A{B^2}.\)
b) Chứng minh \[\widehat {ABE} = \widehat {ADB}\] và \(AE.AD = A{B^2}.\)
Giải bởi Vietjack
b) Xét \(\Delta OBE\) cân tại \(O\) (do \(OB = OE = R)\) nên
\(\widehat {OBE} = \widehat {OEB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOE}}}{2} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {BOE}.\)Xét \(\Delta OED\) cân tại \(O\) (do \(OD = OE = R)\) nên \(2\widehat {ODE} = 180^\circ - \widehat {EOD} = \widehat {BOE}\).
Suy ra \(2\widehat {ODE} = \widehat {BOE}\) hay \(\widehat {ODE} = \frac{1}{2}\widehat {BOE}\). Do đó, \(\widehat {BDA} = \frac{1}{2}\widehat {BOE}.\)
Suy ra \(\widehat {OBE} = 90^\circ - \widehat {BDA}.\)
Mà \(\widehat {OBE} = 90^\circ - \widehat {ABE}\) nên \[\widehat {ABE} = \widehat {ADB}\].
Xét \[\Delta ABE\] và \[\Delta ADB\] có: \[\widehat {BAD}\] chung, \[\widehat {ABE} = \widehat {ADB}\].
Do đó (g.g)
Suy ra \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}}\] nên \[A{B^2} = AE \cdot AD\].
Câu 3:
c) Cho biết \(OA = \left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)R\), tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OC,\,\,OD\) và cung nhỏ \(CD.\)
c) Cho biết \(OA = \left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)R\), tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OC,\,\,OD\) và cung nhỏ \(CD.\)
Giải bởi Vietjack
c) Xét \(\Delta AOB\) vuông tại \(B,\) có:
\(\cos \widehat {AOB} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{R}{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)R}} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4},\) suy ra \(\widehat {AOB} = 75^\circ .\)
Do \[AB,AC\] lần lượt là tiếp tuyến tại \[B,C\] của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \[OA\] là tia tiếp tuyến của \(\widehat {BOC}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra \(\widehat {BOC} = 2\widehat {AOB} = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ .\)
Do đó \(\widehat {COD} = 180^\circ - \widehat {BOC} = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \) nên
Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OC,\,\,OD\) và cung nhỏ \(CD\) là:
\(S = \frac{{\pi {R^2} \cdot 30}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{{12}}\) (đvdt).
Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OC,\,\,OD\) và cung nhỏ \(CD\) là \(\frac{{\pi {R^2}}}{{12}}\) (đvdt).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) \[\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} = \frac{{ - 2x - 6}}{{{x^2} - 9}}\]
\[\frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{ - 2x - 6}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\]
\[x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) = - 2x - 6\]
\[{x^2} - 5x - 6 = - 2x - 6\]
\[{x^2} - 3x = 0\]
\(x\left( {x - 3} \right) = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\)
\(x = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(x = 3\) (không thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 0.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt \(CJ = x\,\,\left( {x > 0} \right).\)
Vì \[AJ\,\,{\rm{//}}\,\,KB\] (cùng vuông góc với \(CI\)) nên hai tam giác \(AJC\) và \(BKA\) là hai tam giác đồng dạng nên \(\frac{{JC}}{{KA}} = \frac{{JA}}{{KB}}\) nên \(\frac{x}{5} = \frac{{12}}{{KB}}\), suy ra \(KB = \frac{{60}}{x}\)
Diện tích khu nuôi cá là:
\(S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right) = \frac{1}{2}\left( {60 + 12x + \frac{{300}}{x} + 60} \right) = \frac{{150}}{x} + 6x + 60\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
\[S\left( x \right) = \frac{{150}}{x} + 6x + 60 \ge 2\sqrt {\frac{{150}}{x} \cdot 6x} + 60 = 2\sqrt {900} + 60 = 120.\]
Dấu xảy ra khi \[\frac{{150}}{x} = 6x\] nên \({x^2} = 25\), suy ra \(x = 5\,\,{\rm{m}}\)
Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là \(120\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập