(0,5 điểm) Một cửa hàng bán sản phẩm \(A\) với giá \(200\,\,000\) đồng mỗi chiếc. Để tăng doanh số bán hàng, cửa hàng quyết định giảm giá sản phẩm. Với mỗi lần giảm giá \(10\,\,000\) đồng, cửa hàng sẽ bán thêm được 20 sản phẩm. Biết rằng khi cửa hàng không giảm giá, họ bán được 100 sản phẩm. Hãy tính mức giảm giá sao cho cửa hàng thu được doanh thu lớn nhất.

Hướng dẫn giải

– Gọi \(x\) là số lần giảm giá \(10\,\,000\) đồng \(\left( {x \in \mathbb{N},\,\,0 \le x < 20} \right).\)

Giá bán mỗi sản phẩm sau khi giảm giá là: \(200 - 10x\) (nghìn đồng).

Số lượng sản phẩm bán ra sau khi giảm giá là: \(100 + 20x\) (chiếc).

Doanh thu \(T\left( x \right)\) của cửa hàng được tính bằng cách nhân giá bán mỗi sản phẩm với số lượng sản phẩm bán ra:

\(T\left( x \right) = \left( {200 - 10x} \right)\left( {100 + 20x} \right)\)

        \( = 200.\left( {100 + 20x} \right) - 10x\left( {100 + 20x} \right)\)

       \( = 20\,\,000 + 4\,\,000x - 1\,\,000x - 200{x^2}\)

       \( = 20\,\,000 + 3\,\,000x - 200{x^2}\)

      \( = - 200\left( {{x^2} - 15x + 7,{5^2}} \right) + 31\,\,250\)

      \( = - 200{\left( {x - 7,5} \right)^2} + 31\,\,250\) (nghìn đồng).

Nhận thấy \( - 200{\left( {x - 7,5} \right)^2} + 31\,\,250 \le 31\,\,250\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 7,5 = 0\) khi \(x = 7,5\).

Do \(x\) phải là số nguyên dương nên \(x = 7,5\) không thỏa mãn.

– Ta thấy rằng \(T\left( x \right) = - 200{\left( {x - 7,5} \right)^2} + 31\,\,250\) lớn nhất khi \({\left( {x - 7,5} \right)^2}\) nhỏ nhất.

Do giá trị của \(T\left( x \right)\) phụ thuộc \(x - 7,5\) và \(x\) nguyên nên ta xét các trường hợp sau:

⦁ Với \(x - 7,5 > 0\) hay \(x > 7,5\)

Mà \(x\) nguyên dương và \({\left( {x - 7,5} \right)^2}\) nhỏ nhất, nên ta lấy giá trị \(x = 8.\)

Khi đó, \(T\left( 8 \right) = 31\,\,200\) (nghìn đồng).

⦁ Với \(x - 7,5 < 0\) hay \(x < 7,5\)

Mà \(x\) nguyên dương và \({\left( {x - 7,5} \right)^2}\) nhỏ nhất, nên ta lấy giá trị \(x = 7.\)

Khi đó, \(T\left( 7 \right) = 31\,\,200\) (nghìn đồng).

Nhận thấy cả hai giá trị \(x = 7,\,\,x = 8\) đều cho doanh thu \(T = 31\,\,200\) (nghìn đồng) hay \(T = 31\,\,200\,\,000\) đồng. Do đó, cửa hàng nên giảm giá \(70\,\,000\) đồng hoặc \(80\,\,000\) đồng để thu được doanh thu cao nhất.