a) Số nguyên dương m được gọi là số tốt nếu tổng các bình phương của tất cả các ước dương của nó(không tính 1 và m) bằng 6m+8. Chứng minh rằng nếu có hai số a pq là số tốt thì pq + 2 là số chính phương.
b)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn \[{x^{2025}} + {y^{2025}} + {y^{1350}} + {y^{675}} = 2\]
a) Số nguyên dương m được gọi là số tốt nếu tổng các bình phương của tất cả các ước dương của nó(không tính 1 và m) bằng 6m+8. Chứng minh rằng nếu có hai số a pq là số tốt thì pq + 2 là số chính phương.
b)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn \[{x^{2025}} + {y^{2025}} + {y^{1350}} + {y^{675}} = 2\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)Do p. q là các số nguyên nên pq có các ước dương là 1, p, q, pq.
Vì p, q là số tốt nên \[{p^2} + {q^2} = 6pq + 8\;(1)\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow pq + 2 = {p^2} + {q^2} - 5pq - 6 = {p^2} + {q^2} - 2pq - 3pq - 6 = {(p - q)^2} - 3(qp + 2)\\ \Leftrightarrow 4(qp + 2) = {(p - q)^2} \Rightarrow pq + 2 = {\left( {\frac{{p - q}}{2}} \right)^2}\;\left( 2 \right)\end{array}\]
Từ (1) \[ \Leftrightarrow {(p - q)^2} = 4pq + 8\]
Do \[4pq + 8 \vdots 2\] nên \[{(p - q)^2} \vdots 2\]
\[ \Rightarrow p - q \vdots 2\] ( Do 2 là số nguyên tố)
\[ \Rightarrow \frac{{p - q}}{2} \in Z\] (3)
Từ (2) và (3) \[ \Rightarrow pq + 2\] là số chính phương.
b) \[{x^{2025}} - {y^{2025}} + {y^{1350}} + {y^{675}} = 2\]. Đặt \[{x^{675}} = m:{y^{675}} = n \Rightarrow {y^{2025}} = {n^3}:{y^{1350}} = {n^2}\]
Do x,y \[ \in \]Z phương trình đã cho trở thành \[{m^3} = {n^3} - {n^2} - n + 2\]
Xét \[{\left( {n - 1} \right)^3} - {m^3} = - 2{n^2} + 4n - 3 = - 2({n^2} - 2n + 1) - 1 - 2{(n - 1)^2} - 1 < 0\]
Do \[ - 2{(n - 1)^2} - 1 < 0\] với mọi n \[ \Rightarrow {(n - 1)^3} < {m^3}\] (1)
Xét \[{(n + 3)^3} - {m^3} = 10{n^2} + 28n + 25 = 10\left( {{n^2} + \frac{{14}}{5} + \frac{{49}}{{25}}} \right) + \frac{{27}}{5} = 10{\left( {n + \frac{7}{5}} \right)^2} + \frac{{27}}{5}\]
Do \[10{\left( {n + \frac{7}{5}} \right)^2} + \frac{{27}}{5} > 0\] với mọi n.
Suy ra \[{(n + 3)^3} > {m^3}\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra :\[{(n + 1)^3} < {m^3} < {(n + 3)^3}\]
Suy ra \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^3} = {n^3}}\\{{m^3} = {{(n + 1)}^3}}\\{{m^3} = {{(n + 2)}^3}}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\\{}\end{array}\]
*TH1: \[{m^3} = {n^3} \Leftrightarrow {n^2} + n - 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 1}\\{n = - 2}\end{array}} \right.\] Với \[n = 1 \Rightarrow {y^{675}} = 1 \Rightarrow y = 1(TM)\]
Với \[n = - 2 \Rightarrow {y^{675}} = - 2 \Rightarrow \] không có giá trị nào của y \[ \in {\rm Z}\] thỏa mãn.
Thay y=1 vào phương trình đã cho
\[ \Leftrightarrow {x^{2025}} + 1 = 2\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^{2025}} = 1\\ \Leftrightarrow x = 1(TM)\end{array}\]
*TH2: \[{m^3} = {(n + 1)^3} \Leftrightarrow 4{n^2} + 4n - 1 = 0\]
\[\Delta = 8\] không là số chính phương.
Suy ra không có giá trị n\[ \in {\rm Z}\].
*TH3: \[{m^3} = {(n + 2)^3} \Leftrightarrow 7{n^2} + 13n + 6 = 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow (n + 1)(7n + 6) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = - 1}\\{n = \frac{{ - 6}}{7}}\end{array}} \right.\end{array}\]( loại vì n không thuộc Z)
Với \[n = - 1 \Rightarrow {y^{675}} = - 1 \Leftrightarrow y = - 1(TM)\]
Thay y=-1 vào phương trình ban đầu ta có:
\[{x^{2025}} + 1 = 2{ \Leftrightarrow ^{2025}} = 1 \Leftrightarrow x = 1(TM)\]
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên \[(x,y) \in \{ (1;1);(1; - 1)\} \]
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Do AI là tia phân giác của góc BAC nên M là điểm chính giữa cung BC không chứa A của (O) \[ \Rightarrow \]MB=MC.
Từ đó ta có biến đổi góc sau:
Do đó tam giác MBI cân tại M hay MB=MI. Mặt khác ta cũng có MB=MC. Vậy MB=MC=MI\[ \Rightarrow \]đpcm.
Gọi K là giao điểm thứ hai của (AEF) và (O). Ta sẽ chứng minh K\( \equiv \)K’. Thật vậy:
Do tứ giác AK’FE nội tiếp nên (1)
Mặt khác : ( góc nội tiếp cùng chắn cung BC của (O). (2)
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \]
. Gọi K’ là giao điểm thứ hai của (AEF) và (O). Ta sẽ chứng minh K\( \equiv \)K’. Thật vậy:
Do tứ giác AK’FE nội tiếp nên (1)
Mặt khác : ( góc nội tiếp cùng chắn cung BC của (O). (2)
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \]
Mặt khác:
Từ đó suy ra
\[ \Rightarrow \]K’D là phân giác của góc BK’C.
Mà M cũng chính là điểm chính giữa cung BC không chứa K’ của (O) \[ \Rightarrow \]K’, D, M thẳng hang.
Vậy K\( \equiv \)K’.
b) Xét hai tam giác MBD và MKB, ta có:
Xét hai tam giác MID và MKI, ta có:
Ta có: . Mà \[AP\parallel BC \Rightarrow PI \bot BC.\]
Mặt khác : \[ID \bot BC.\]Từ đó suy ra P,I,D thẳng hàng.
Từ (3) và (4) hay \[KP \bot KM.\]
Lời giải
Kí hiệu (i;j) là sau khi gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần lien tiếp ta được lần thứ nhất xuất hiện mặt có số chấm là i, lần thứ hai xuất hiện mặt có số chấm là j (với i,j \[ \in \]{1;2;…;6})
\[ \Rightarrow \]Không gian mẫu \[\Omega \] ={(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1) , (2;2) , (2;3) , (2;4) , (2;5) , (2;6), (3;1) , (3;2) , (3;3) , (3;4) , (3;5) , (3;6), (4;1) , (4;2) , (4;3 ), (4;4 ), (4;5), (4;6), (5;1) , (5;2) , (5;3) , (5;4) , (5;5) , (5;6), (6;1) , (6;2) , (6;3) , (6;4) , (6;5) , (6;6)}.
\[ \Rightarrow \]Số phần tử của không gian mẫu n(\[\Omega \])=36
Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của con xúc sắc trong hai lần gieo không lớn hơn 6”
\[ \Rightarrow \]A={(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (2;1) , (2;2) , (2;3) , (2;4) , (3;1) , (3;2) , (3;3), (4;1) , (4;2), (5;1)}
\[ \Rightarrow \]Số phần tử của A là n(A)=15
Vậy số xác suất cần tìm là P(A)= \[\frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{15}}{{36}} = \frac{5}{{12}}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập