Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I và tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F.  Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là điểm M.

a) Chứng minh rằng MB = MC = MI.

b) Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh rằng tứ giác AKFE nội tiếp.

c) Đường thẳng đi qua A và song song với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm thứ hai là P. Chứng minh rằng KP vuông góc với KD.

a)Dự đoán Q đạt giá trị nhỏ nhất tại a=3.

Ta có \[Q = {a^2}\frac{{27}}{a} + \frac{{27}}{a} - \frac{{160}}{{3a}}\]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số \[{a^2};\frac{{27}}{a};\frac{{27}}{a}\] ta được:

\[{a^2} + \frac{{27}}{a} + \frac{{27}}{a} \ge 3.\sqrt {{a^2}.\frac{{27}}{a}.\frac{{27}}{a}} = 27\]

Mà \[a \ge 3 \Rightarrow 0 < \frac{{160}}{{3a}} \le \frac{{160}}{9} \Rightarrow - \frac{{160}}{{3a}} \ge \frac{{160}}{9}\].

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow a = 3.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q= \[\frac{{83}}{9}\] tại a=3.

b)Ta đặt \[x = \frac{{3ab + 1}}{b},y = \frac{{3bc + 1}}{c},z = \frac{{3ca + 1}}{a} \Rightarrow x,y,z > 0\]

Đặt \[P = \frac{{a{{(3bc + 1)}^2}}}{{{c^2}(3ac + 1)}} + \frac{{b{{(3ca + 1)}^2}}}{{{a^2}(3ab + 1)}} + \frac{{c{{(3ab + 1)}^2}}}{{{b^2}(3bc + 1)}} \Rightarrow P = \frac{{{y^2}}}{z} + \frac{{{z^2}}}{x} + \frac{{{x^2}}}{y}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy-Schwarz ta có

\[P \ge \frac{{{{(y + z + x)}^2}}}{{x + y + z}} = x + y + z(1)\]

Ta có:

 \[\begin{array}{l}x + y + z = 3a + \frac{1}{b} + 3b + \frac{1}{c} + 3c + \frac{1}{a}\\ = \left( {9a + \frac{1}{a}} \right) + \left( {9b + \frac{1}{b}} \right) + \left( {9c + \frac{1}{c}} \right) - 6(a + b + c) \ge 2.\sqrt {9a + \frac{1}{a}} + 2.\sqrt {9b + \frac{1}{b}} + 2.\sqrt {9c + \frac{1}{c}} - 6(a + b + c)\\ = 6 + 6 + 6 - 6(a + b + c) \ge 18 - 6 = 12\left( 2 \right){\rm{ }}({\rm{ }}v\`i {\rm{ }}a + b + c \le 1).\end{array}\]

Từ (1) và (2) suy ra P\[ \ge \]12.

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \]a = b = c =\[\frac{1}{3}\]\[ \Rightarrow \]đpcm.

\[\begin{array}{l}{x^2} - (m - 4)x - m - 2 = 0(1)\\\Delta ' = {(m - 4)^2} - 4( - m - 2) = {m^2} - 8m + 16 + 4m + 8 = {m^2} - 4m + 24 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 20 > 0,\forall m\end{array}\]

\[ \Rightarrow \]Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Áp dụng định lí Vi-ét: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = m - 4}\\{{x_1}{x_2} = - m - 2}\end{array}} \right.\]

\[\begin{array}{l}\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + {x_1}(m - 8 - {x_1}) = \sqrt {{x_2}^2 + 2023} + {x_2}(m - {x_2})\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x_1}^2 + 2023} + {x_1}({x_1} + {x_2} - 4 - {x_1}) = \sqrt {{x_2}^2 + 2023} + {x_2}({x_1} + {x_2} - 4 - {x_2})\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x_1}^2 + 2023} - \sqrt {{x_2}^2 + 2023} + {x_1}({x_2} - 4) - {x_2}({x_1} + 4) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}^2 - {x_2}^2}}{{\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + \sqrt {{x_2}^2 + 2023} }} + {x_1}{x_2} - 4{x_1} - {x_1}{x_2} - 4{x_2} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + \sqrt {{x_2}^2 + 2023} }} - 4({x_1} + {x_2}) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {\frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + \sqrt {{x_2}^2 + 2023} }}} \right) = 0(2)\end{array}\]

Ta có: \[\begin{array}{l}\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + \sqrt {{x_2}^2 + 2023} > \sqrt {{x_1}^2} + \sqrt {{x_2}^2} = \left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|\\\end{array}\]

\[\begin{array}{l}{x_1} - {x_2} \le \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le \left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|\\ \Rightarrow \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + \sqrt {{x_2}^2 + 2023} }} < \frac{{\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|}}{{\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|}} = 1\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + \sqrt {{x_2}^2 + 2023} }} - 4 < 0\\(2) \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 0 \Leftrightarrow m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\end{array}\]

Vậy m = 4.