Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I và tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F.  Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là điểm M.

a) Chứng minh rằng MB = MC = MI.

b) Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh rằng tứ giác AKFE nội tiếp.

c) Đường thẳng đi qua A và song song với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm thứ hai là P. Chứng minh rằng KP vuông góc với KD.

Kí hiệu (i;j) là sau khi gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần lien tiếp ta được lần thứ nhất xuất hiện mặt có số chấm là i, lần thứ hai xuất hiện mặt có số chấm là j (với i,j \[ \in \]{1;2;…;6})

\[ \Rightarrow \]Không gian mẫu \[\Omega \] ={(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1) , (2;2) , (2;3) , (2;4) , (2;5) , (2;6), (3;1) , (3;2) , (3;3) , (3;4) , (3;5) , (3;6), (4;1) , (4;2) , (4;3 ), (4;4 ), (4;5), (4;6), (5;1) , (5;2) , (5;3) , (5;4) , (5;5) , (5;6), (6;1) , (6;2) , (6;3) , (6;4) , (6;5) , (6;6)}.

\[ \Rightarrow \]Số phần tử của không gian mẫu n(\[\Omega \])=36

Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của con xúc sắc trong hai lần gieo không lớn hơn 6”

\[ \Rightarrow \]A={(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (2;1) , (2;2) , (2;3) , (2;4) , (3;1) , (3;2) , (3;3), (4;1) , (4;2), (5;1)}

\[ \Rightarrow \]Số phần tử của A là n(A)=15

Vậy số xác suất cần tìm là P(A)= \[\frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{15}}{{36}} = \frac{5}{{12}}\]

a)Do p. q là các số nguyên nên pq có các ước dương là 1, p, q, pq.

Vì p, q là số tốt nên \[{p^2} + {q^2} = 6pq + 8\;(1)\]

 \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow pq + 2 = {p^2} + {q^2} - 5pq - 6 = {p^2} + {q^2} - 2pq - 3pq - 6 = {(p - q)^2} - 3(qp + 2)\\ \Leftrightarrow 4(qp + 2) = {(p - q)^2} \Rightarrow pq + 2 = {\left( {\frac{{p - q}}{2}} \right)^2}\;\left( 2 \right)\end{array}\]

Từ (1) \[ \Leftrightarrow {(p - q)^2} = 4pq + 8\]

Do \[4pq + 8 \vdots 2\] nên \[{(p - q)^2} \vdots 2\]

\[ \Rightarrow p - q \vdots 2\] ( Do 2 là số nguyên tố)

\[ \Rightarrow \frac{{p - q}}{2} \in Z\] (3)

Từ (2) và (3) \[ \Rightarrow pq + 2\] là số chính phương.

b) \[{x^{2025}} - {y^{2025}} + {y^{1350}} + {y^{675}} = 2\]. Đặt \[{x^{675}} = m:{y^{675}} = n \Rightarrow {y^{2025}} = {n^3}:{y^{1350}} = {n^2}\]

Do x,y \[ \in \]Z phương trình đã cho trở thành \[{m^3} = {n^3} - {n^2} - n + 2\]

Xét \[{\left( {n - 1} \right)^3} - {m^3} = - 2{n^2} + 4n - 3 = - 2({n^2} - 2n + 1) - 1 - 2{(n - 1)^2} - 1 < 0\]

Do \[ - 2{(n - 1)^2} - 1 < 0\] với mọi n \[ \Rightarrow {(n - 1)^3} < {m^3}\] (1)

Xét \[{(n + 3)^3} - {m^3} = 10{n^2} + 28n + 25 = 10\left( {{n^2} + \frac{{14}}{5} + \frac{{49}}{{25}}} \right) + \frac{{27}}{5} = 10{\left( {n + \frac{7}{5}} \right)^2} + \frac{{27}}{5}\]

Do \[10{\left( {n + \frac{7}{5}} \right)^2} + \frac{{27}}{5} > 0\] với mọi n.

Suy ra \[{(n + 3)^3} > {m^3}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra :\[{(n + 1)^3} < {m^3} < {(n + 3)^3}\]

Suy ra \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^3} = {n^3}}\\{{m^3} = {{(n + 1)}^3}}\\{{m^3} = {{(n + 2)}^3}}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\\{}\end{array}\]

*TH1: \[{m^3} = {n^3} \Leftrightarrow {n^2} + n - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 1}\\{n = - 2}\end{array}} \right.\] Với \[n = 1 \Rightarrow {y^{675}} = 1 \Rightarrow y = 1(TM)\]

Với \[n = - 2 \Rightarrow {y^{675}} = - 2 \Rightarrow \] không có giá trị nào của y \[ \in {\rm Z}\] thỏa mãn.

Thay y=1 vào phương trình đã cho

\[ \Leftrightarrow {x^{2025}} + 1 = 2\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^{2025}} = 1\\ \Leftrightarrow x = 1(TM)\end{array}\]

*TH2: \[{m^3} = {(n + 1)^3} \Leftrightarrow 4{n^2} + 4n - 1 = 0\]

\[\Delta = 8\] không là số chính phương.

Suy ra không có giá trị n\[ \in {\rm Z}\].

*TH3: \[{m^3} = {(n + 2)^3} \Leftrightarrow 7{n^2} + 13n + 6 = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow (n + 1)(7n + 6) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = - 1}\\{n = \frac{{ - 6}}{7}}\end{array}} \right.\end{array}\]( loại vì n không thuộc Z)

Với \[n = - 1 \Rightarrow {y^{675}} = - 1 \Leftrightarrow y = - 1(TM)\]

Thay y=-1 vào phương trình ban đầu ta có:

\[{x^{2025}} + 1 = 2{ \Leftrightarrow ^{2025}} = 1 \Leftrightarrow x = 1(TM)\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên \[(x,y) \in \{ (1;1);(1; - 1)\} \]