Cho phương trình \[{x^2} - (m - 4)x - m - 2 = 0\], với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x₁ , x₂ thõa mãn điều kiện:

\[\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + {x_1}(m - 8 - {x_1}) = \sqrt {{x_2}^2 + 2023} + {x_2}(m - {x_2}).\]

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I và tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F.  Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là điểm M.

a) Chứng minh rằng MB = MC = MI.

b) Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh rằng tứ giác AKFE nội tiếp.

c) Đường thẳng đi qua A và song song với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm thứ hai là P. Chứng minh rằng KP vuông góc với KD.

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Tính xác suất sao cho tổng số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc trong hai lần gieo không lớn hơn 6.

a) Cho a \[ \ge \]3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(Q = {a^2} + \frac{2}{{3a}}\)

b) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c\[ \le \]1. Chứng minh rằng:

\[\frac{{a{{(3bc + 1)}^2}}}{{{c^2}(3ac + 1)}} + \frac{{b{{(3ca + 1)}^2}}}{{{a^2}(3ab + 1)}} + \frac{{c{{(3ab + 1)}^2}}}{{{b^2}(3bc + 1)}}\]\[ \ge \]12.

a) Số nguyên dương m được gọi là số tốt nếu tổng các bình phương của tất cả các ước dương của nó(không tính 1 và m) bằng 6m+8. Chứng minh rằng nếu có hai số a pq là số tốt thì pq + 2 là số chính phương.

b)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn \[{x^{2025}} + {y^{2025}} + {y^{1350}} + {y^{675}} = 2\]

Lúc 7 giờ 30 phút hai xe ô tô cùng xuất phát từ A đến B với vận tốc của mỗi xe không thay đổi trên cả quãng đường. Xe thứ hai đến B sớm hơn xe thứ nhất đúng 1 giờ. Lúc quay trở về, xe thứ nhất tăng vận tốc thêm 5 km / h, xe thứ hai vẫn giữ nguyên vận tốc như lúc đi nhưng dùng ở trạm nghỉ 36 phút, do đó xe thứ hai về đến A cùng lúc với xe thứ nhất. Biết rằng quãng đường từ A đến B là 180 km . Hỏi lúc đi, xe thứ nhất đến B lúc mấy giờ?

a)Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{9 - x}}{{x + \sqrt x - 6}}} \right)\) :\(\left( {\frac{{x - 3\sqrt x }}{{x - 9}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}}} \right)\) với \(x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9\)

Tìm các giá trị x để P nhận giá trị nguyên.

b)Cho a, b, c là các số thực thõa mãn điều kiện abc\[ \ne \]0 và a+b+c\[ \ne \]0. Chứng minh rằng nếu \(\frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} = - 2\)thì \(\frac{1}{{{a^{2023}}}} + \frac{1}{{{b^{2023}}}} + \frac{1}{{{c^{2023}}}} = \frac{1}{{{a^{2023}} + {b^{2023}} + {c^{2023}}}}.\)