Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Tính xác suất sao cho tổng số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc trong hai lần gieo không lớn hơn 6.

a)               Do AI là tia phân giác của góc BAC nên M là điểm chính giữa cung BC không chứa A của (O) \[ \Rightarrow \]MB=MC.

Từ đó ta có biến đổi góc sau:

Do đó tam giác MBI cân tại M hay MB=MI. Mặt khác ta cũng có MB=MC. Vậy MB=MC=MI\[ \Rightarrow \]đpcm.

Gọi K là giao điểm thứ hai của (AEF) và (O). Ta sẽ chứng minh K\( \equiv \)K’. Thật vậy:

Do tứ giác AK’FE nội tiếp nên   (1)

Mặt khác : ( góc nội tiếp cùng chắn cung BC của (O). (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \]

. Gọi K’ là giao điểm thứ hai của (AEF) và (O). Ta sẽ chứng minh K\( \equiv \)K’. Thật vậy:

Do tứ giác AK’FE nội tiếp nên   (1)

Mặt khác : ( góc nội tiếp cùng chắn cung BC của (O). (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \]

Mặt khác: $\stackrel{⏜}{K\text{'}BF}=\stackrel{⏜}{K\text{'}BA}=\stackrel{⏜}{K\text{'}CA}=\stackrel{⏜}{K\text{'}CE}.$

Từ đó suy ra $△K\text{'}BF~△K\text{'}CE(g.g).$

\[ \Rightarrow \]K’D là phân giác của góc BK’C.

Mà M cũng chính là điểm chính giữa cung BC không chứa K’ của (O) \[ \Rightarrow \]K’, D, M thẳng hang.

Vậy K\( \equiv \)K’.

b)  Xét hai tam giác MBD và MKB, ta có:

Xét hai tam giác MID và MKI, ta có:

Ta có: $\stackrel{⏜}{API}=\stackrel{⏜}{AEI}=90°\Rightarrow AP\perp PI$. Mà \[AP\parallel BC \Rightarrow PI \bot BC.\]

Mặt khác : \[ID \bot BC.\]Từ đó suy ra P,I,D thẳng hàng.

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \stackrel{⏜}{MKI}=90°-\stackrel{⏜}{PKI}\Rightarrow \stackrel{⏜}{MKP}=90°$hay \[KP \bot KM.\]

a)Dự đoán Q đạt giá trị nhỏ nhất tại a=3.

Ta có \[Q = {a^2}\frac{{27}}{a} + \frac{{27}}{a} - \frac{{160}}{{3a}}\]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số \[{a^2};\frac{{27}}{a};\frac{{27}}{a}\] ta được:

\[{a^2} + \frac{{27}}{a} + \frac{{27}}{a} \ge 3.\sqrt {{a^2}.\frac{{27}}{a}.\frac{{27}}{a}} = 27\]

Mà \[a \ge 3 \Rightarrow 0 < \frac{{160}}{{3a}} \le \frac{{160}}{9} \Rightarrow - \frac{{160}}{{3a}} \ge \frac{{160}}{9}\].

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow a = 3.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q= \[\frac{{83}}{9}\] tại a=3.

b)Ta đặt \[x = \frac{{3ab + 1}}{b},y = \frac{{3bc + 1}}{c},z = \frac{{3ca + 1}}{a} \Rightarrow x,y,z > 0\]

Đặt \[P = \frac{{a{{(3bc + 1)}^2}}}{{{c^2}(3ac + 1)}} + \frac{{b{{(3ca + 1)}^2}}}{{{a^2}(3ab + 1)}} + \frac{{c{{(3ab + 1)}^2}}}{{{b^2}(3bc + 1)}} \Rightarrow P = \frac{{{y^2}}}{z} + \frac{{{z^2}}}{x} + \frac{{{x^2}}}{y}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy-Schwarz ta có

\[P \ge \frac{{{{(y + z + x)}^2}}}{{x + y + z}} = x + y + z(1)\]

Ta có:

 \[\begin{array}{l}x + y + z = 3a + \frac{1}{b} + 3b + \frac{1}{c} + 3c + \frac{1}{a}\\ = \left( {9a + \frac{1}{a}} \right) + \left( {9b + \frac{1}{b}} \right) + \left( {9c + \frac{1}{c}} \right) - 6(a + b + c) \ge 2.\sqrt {9a + \frac{1}{a}} + 2.\sqrt {9b + \frac{1}{b}} + 2.\sqrt {9c + \frac{1}{c}} - 6(a + b + c)\\ = 6 + 6 + 6 - 6(a + b + c) \ge 18 - 6 = 12\left( 2 \right){\rm{ }}({\rm{ }}v\`i {\rm{ }}a + b + c \le 1).\end{array}\]

Từ (1) và (2) suy ra P\[ \ge \]12.

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \]a = b = c =\[\frac{1}{3}\]\[ \Rightarrow \]đpcm.