Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + x + 1\). Phương trình \(y'' = 0\) có nghiệm.

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).

Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AE \bot BC\) mà \(BC \bot AA'\) (do \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\)).

Suy ra \(BC \bot \left( {A'AE} \right)\).

Hạ \(AH \bot A'E\) tại H (1).

Vì \(BC \bot \left( {A'AE} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\).

Do đó \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).

Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta A'AE\) vuông tại \(A\), ta có

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}}\)\( = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).