a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1\)

b) Cho \(n\) là số nguyên dương lẻ sao cho \({3^n} + {7^n}\) chia hết cho 11. Tìm số dư khi chia \({2^n} + {6^n} + {2023^n}\) cho 11.

a) Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt {x - 3y} = 16 - 3x + 9y\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{2\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} = 5y + 1\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\)

Điều kiện : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{y \ge - 3}\\{x \ge 3y}\end{array}} \right.\)

Đặt \(\sqrt {x - 3y} = t \ge 0\) thay vào (1) ta được

\(2t = 16 - 3{t^2} \Leftrightarrow 9{t^2} + 6t + 1 = 49 \Leftrightarrow {\left( {3t + 1} \right)^2} = {7^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{t = \frac{{ - 8}}{3}\;\;\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)

Với \(t = 2 \Rightarrow x - 2y = 4\) thay vào (2) ta được\(2\sqrt {3y + 1} + \sqrt {y + 3} = 5y + 1\;\;\;\left( 3 \right)\) ĐK \(y \ge \frac{{ - 1}}{5}\)

Suy ra \(4y - 2\sqrt {3y + 1} + y + 1 - \sqrt {y + 3} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{16{y^2} - 12y - 4}}{{4y + 2\sqrt {3y + 1} }} + \frac{{{y^2} + y - 2}}{{y + 1 + \sqrt {y + 3} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{4\left( {4y + 1} \right)\left( {y - 1} \right)}}{{4y + 2\sqrt {3y + 1} }} + \frac{{\left( {y + 2} \right)\left( {y - 1} \right)}}{{y + 1 + \sqrt {y + 3} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left[ {\frac{{4\left( {4y + 1} \right)}}{{4y + 2\sqrt {3y + 1} }} + \frac{{\left( {y + 2} \right)}}{{y + 1 + \sqrt {y + 3} }}} \right] = 0 \Leftrightarrow y = 1\)

(vì \(y \ge \frac{{ - 1}}{5}\))

Từ \(y = 1 \Rightarrow x = 7\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left( {x;y} \right) = \left( {7;1} \right)\)

b) Bằng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng minh với cách xóa như vậy thì dãy \(\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3}; \ldots ;\frac{1}{n}\) còn lại số cuối cùng là \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).( + 1.\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {n + 1} \right) - 1}}\)   (*)

Thật vậy

Với \(n = 2\) thì (*) đúng.

Giả sử đúng với \(n = k\) thì dãy còn lại số \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right) - 1}}\)

Cần chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là dãy còn lại số \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right).\left( {k + 2} \right) - 1}}\)

Từ giả thiết quy nạp dãy \(\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3}; \ldots ;\frac{1}{k};\frac{1}{{k + 1}}\) với quy luật xóa thì còn lại số \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right) - 1}}\)

Khi đó dãy \(\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3}; \ldots ;\frac{1}{k};\frac{1}{{k + 1}}\) còn lại hai số  \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right) - 1}};\frac{1}{{k + 1}}\)

Khi đó còn lại số \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right).\left( {k + 1} \right) - \left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right) + \left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right) - 1}}\)

= \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right).\left( {k + 2} \right) - 1}}\)

Vậy (*) đúng.

Khi đó dãy \(\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3}; \ldots ;\frac{1}{{2023}}\) với cách xóa như vậy số cuối cùng còn lại của dãy là

\(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {2023 + 1} \right) - 1}} = \frac{1}{{2.3.4 \ldots 2024 - 1}}\)