a) Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt {x - 3y} = 16 - 3x + 9y\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{2\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} = 5y + 1\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\)

b) Viết lên trên bảng 2023 số \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};.....;\frac{1}{{2022}};\frac{1}{{2023}}.\)Mỗi bước ta xóa đi 2 số x,y bất kỳ trên bảng rồi viết lên bảng số \(\frac{{xy}}{{x + y + 1}}\)(các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Thực hiện liên tục thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng 1 số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu

Vì \(\left( {x;y} \right)\) nguyên dương nên từ điều kiện \(2x + 1 \vdots {x^2} - x - 1\)

                                                                              \(2{x^2} + x \vdots {x^2} - x - 1\)

\( \Rightarrow 2{x^2} - 2x - 2 + 3x + 2 \vdots {x^2} - x - 1 \Rightarrow 3x + 2 \vdots {x^2} - x - 1\)

Từ đó suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 \vdots {x^2} - x - 1}\\{3x + 2 \vdots {x^2} - x - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6x + 3 \vdots {x^2} - x - 1}\\{6x + 3 \vdots {x^2} - x - 1}\end{array} \Rightarrow 1 \vdots {x^2} - x - 1} \right.\)

Suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - x - 1 = 1}\\{{x^2} - x - 1 = - 1}\end{array}} \right.\)

+) Với \({x^2} - x - 1 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = - 1\;\;\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(x = 2 \Rightarrow \left( {{y^2} + 2y - 9} \right) = 5 \Leftrightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = 15\;\;\)(loại)

+ Với \({x^2} - x - 1 = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = 0\;\;\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(x = 1 \Rightarrow - \left( {{y^2} + y - 9} \right) = 3 \Leftrightarrow {y^2} + y - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {y + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - 3\;\;\left( {loai} \right)}\\{y = 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Vậy cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1\) là \(x;y) = \left( {1;2} \right).\)

b) 

Ta có: \({3^n} + {8^n} + {7^n} + {4^n} \vdots 11\) (vì \(n\) lẻ)

\( \Rightarrow {4^n} + {8^n} \vdots 11 \Rightarrow {4^n}\left( {1 + {2^n}} \right) \vdots 11 \Rightarrow {2^n} + 1 \vdots 11\)

                                                                             \(n = 10k + 5\;(k \in \mathbb{N}\)

Ta có \({6^n} = {6^{10k + 5}} = {\left( {{6^{10}}} \right)^k}{.6^5} \equiv - 1\left( {mod11} \right);{2023^n} \equiv - 1\left( {mod11} \right)\)

Suy ra \({2^n} + {6^n} + {2023^n} \equiv - 3 \equiv 8\left( {mod11} \right)\)

Vậy \({2^n} + {6^n} + {2023^n} \equiv 8\left( {mod11} \right)\)

a) Ta có tứ giác \(CDHE\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {DCE} + \widehat {DHE} = {180^0}\)

          \(\widehat {APB} = \widehat {ACB}\) (cùng chắn cung AB)

          \(\widehat {APB} = \widehat {AMB}\) (tính chất đối xứng)

          \(\widehat {AHB} = \widehat {EHD}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {AMB} + \widehat {AHB} = {180^0}\) . Vậy tứ giác \(AHBM\) nội tiếp

b) Ta có tứ giác \(BFEC\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {FBC} = \widehat {AEF} = \widehat {ATC} \Rightarrow \widehat {ACT} = \widehat {AZE} = {90^0}\)

Mà \(PQ//FE\) suy ra \(Q\) đối xứng với \(P\) qua \(OA\)

c) Tiếp tuyến \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(L\), \(AL\) cắt đường tròn tại \(J\). Dễ có \(L{B^2} = LS.LA = LS.LO\)

Suy ra tứ giác \(AJSO \Rightarrow \widehat {JSL} = \widehat {XSL} \Rightarrow \widehat {ASC} = \widehat {ABJ};\widehat {AJB} = \widehat {ACS} \Rightarrow \Delta ABJ \sim \Delta ASC\) (g.g)

Mà \(\Delta ABC \sim \Delta AEF\) (g.g). Giả sử \(AJ\) cắt \(FE\) tại \(K'\) \( \Rightarrow \Delta FAK' \sim \Delta ABS\) (g.g)

Vì \(S\) là trung điểm \(BC\) \( \Rightarrow K'\) là trung điểm \(FE \Rightarrow K \equiv K'\). Vậy tiếp tuyến tại \(B,\;C\) và \(AK\) đồng quy.