Cho phương trình đường tròn \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\), đường tròn có tâm và bán kính là

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ trùng với trung điểm của \(AB\), tia \(AB\) là chiều dương của trục \(Ox\), gọi các điểm như hình vẽ trên.

Gọi parabol của dạng cổng là \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).

Do đỉnh parabol nằm trên trục \(Oy\) nên ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0\) và đỉnh có tọa độ là: \(\left( {0;c} \right)\).

Ta có: \(OB = 150:2 = 75\) (m), \(OH = 150:2 - 15 = 60\) (m).

Do đó, có các tọa độ \(B\left( {75;0} \right)\), \(I\left( { - 60;42} \right)\), parabol đi qua hai điểm đó nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{75^2} \cdot a + c = 0\\{\left( { - 60} \right)^2} \cdot a + c = 42\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{14}}{{675}}\\c = \frac{{350}}{3}\end{array} \right.\).

Như vậy chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) là tung độ của đỉnh của parabol nên \(h = c = \frac{{350}}{3}\).

Vậy cổng parabol cao \(\frac{{350}}{3}\) m.

Đáp án đúng là: D

Khi \(x = 1\) thì \(y =  - 2\), do đó, ta có: \(a \cdot 1 + b =  - 2\).

Khi \(x = 2\) thì \(y = 1\), do đó, ta có: \(a \cdot 2 + b = 1\).

Vậy ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b =  - 2\\2a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 5\end{array} \right.\).

Do đó có hàm số: \(y = 3x - 5\).

Thay lần lượt các giá trị \(x = 3,\,x = 4,\,\,x = 5\) vào công thức hàm số trên ta thấy đều tìm được giá trị \(y\) tương ứng thỏa mãn bảng đã cho.

Vậy công thức hàm số cần tìm là: \(y = 3x - 5\).