Một chiếc cổng vòm dạng parabol (như hình vẽ). Khoảng cách giữa hai chân cổng là 150 m, trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 42 m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất (dây không co giãn, căng thẳng, vuông góc với mặt đất). Đầu dây chạm đất cách chân cổng \(A\) một đoạn 15 m. Hãy tính chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ trùng với trung điểm của \(AB\), tia \(AB\) là chiều dương của trục \(Ox\), gọi các điểm như hình vẽ trên.

Gọi parabol của dạng cổng là \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).

Do đỉnh parabol nằm trên trục \(Oy\) nên ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0\) và đỉnh có tọa độ là: \(\left( {0;c} \right)\).

Ta có: \(OB = 150:2 = 75\) (m), \(OH = 150:2 - 15 = 60\) (m).

Do đó, có các tọa độ \(B\left( {75;0} \right)\), \(I\left( { - 60;42} \right)\), parabol đi qua hai điểm đó nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{75^2} \cdot a + c = 0\\{\left( { - 60} \right)^2} \cdot a + c = 42\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{14}}{{675}}\\c = \frac{{350}}{3}\end{array} \right.\).

Như vậy chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) là tung độ của đỉnh của parabol nên \(h = c = \frac{{350}}{3}\).

Vậy cổng parabol cao \(\frac{{350}}{3}\) m.