Bên trong một sân thể thao, để chuẩn bị cho cuộc thi ném tạ, người ta dự định vẽ hai nửa hình tròn bằng nhau và một vòng tròn (xem hình vẽ), hai nửa hình tròn là vị trí để các vận động viên đứng ném và vòng tròn là đích đến của tạ đạt điểm. Hãy tìm bán kính của các nửa hình tròn và vòng tròn ấy để tổng chu vi của chúng là 36 m mà tổng diện tích là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy \(\pi  = 3,14\), độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ trùng với trung điểm của \(AB\), tia \(AB\) là chiều dương của trục \(Ox\), gọi các điểm như hình vẽ trên.

Gọi parabol của dạng cổng là \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).

Do đỉnh parabol nằm trên trục \(Oy\) nên ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0\) và đỉnh có tọa độ là: \(\left( {0;c} \right)\).

Ta có: \(OB = 150:2 = 75\) (m), \(OH = 150:2 - 15 = 60\) (m).

Do đó, có các tọa độ \(B\left( {75;0} \right)\), \(I\left( { - 60;42} \right)\), parabol đi qua hai điểm đó nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{75^2} \cdot a + c = 0\\{\left( { - 60} \right)^2} \cdot a + c = 42\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{14}}{{675}}\\c = \frac{{350}}{3}\end{array} \right.\).

Như vậy chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) là tung độ của đỉnh của parabol nên \(h = c = \frac{{350}}{3}\).

Vậy cổng parabol cao \(\frac{{350}}{3}\) m.

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B}} \right)\).

Do điểm \(M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} - 1}}{2} = 2\\\frac{{{y_B} + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 5\\{y_B} = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {5;2} \right)\).

Do \(G\left( {3;1} \right)\) là trọng tâm của tam giác nên ta có:

\(AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow AG = 2GM \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {GM} \)

Mà: \(\overrightarrow {AG}  = \left( {3 - {x_A};1 - {y_A}} \right)\); \(\overrightarrow {GM}  = \left( {2 - 3;2 - 1} \right) = \left( { - 1;\,\,1} \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {GM}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - {x_A} = 2 \cdot ( - 1)\\1 - {y_A} = 2 \cdot 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5 - 5;2 - ( - 1)} \right) = \left( {0;3} \right)\)

Do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;0} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ pháp tuyến  \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;0} \right)\) là \( - 3\left( {x - 5} \right) + 0.\left( {y - ( - 1)} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5 = 0\).