Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính \(AB\) với \(A\left( {3;7} \right)\) và \(B\left( {1;1} \right)\) là

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ trùng với trung điểm của \(AB\), tia \(AB\) là chiều dương của trục \(Ox\), gọi các điểm như hình vẽ trên.

Gọi parabol của dạng cổng là \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).

Do đỉnh parabol nằm trên trục \(Oy\) nên ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0\) và đỉnh có tọa độ là: \(\left( {0;c} \right)\).

Ta có: \(OB = 150:2 = 75\) (m), \(OH = 150:2 - 15 = 60\) (m).

Do đó, có các tọa độ \(B\left( {75;0} \right)\), \(I\left( { - 60;42} \right)\), parabol đi qua hai điểm đó nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{75^2} \cdot a + c = 0\\{\left( { - 60} \right)^2} \cdot a + c = 42\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{14}}{{675}}\\c = \frac{{350}}{3}\end{array} \right.\).

Như vậy chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) là tung độ của đỉnh của parabol nên \(h = c = \frac{{350}}{3}\).

Vậy cổng parabol cao \(\frac{{350}}{3}\) m.

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B}} \right)\).

Do điểm \(M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} - 1}}{2} = 2\\\frac{{{y_B} + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 5\\{y_B} = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {5;2} \right)\).

Do \(G\left( {3;1} \right)\) là trọng tâm của tam giác nên ta có:

\(AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow AG = 2GM \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {GM} \)

Mà: \(\overrightarrow {AG}  = \left( {3 - {x_A};1 - {y_A}} \right)\); \(\overrightarrow {GM}  = \left( {2 - 3;2 - 1} \right) = \left( { - 1;\,\,1} \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {GM}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - {x_A} = 2 \cdot ( - 1)\\1 - {y_A} = 2 \cdot 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5 - 5;2 - ( - 1)} \right) = \left( {0;3} \right)\)

Do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;0} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ pháp tuyến  \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;0} \right)\) là \( - 3\left( {x - 5} \right) + 0.\left( {y - ( - 1)} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5 = 0\).