Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 2a\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\). Biết \(MN = a\sqrt 3 \). Góc giữa \(AB\) và \(CD\) bằng

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên suy ra \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\).

Kẻ \[Ax\parallel BD\].

 Do đó \[d\left( {BD,SA} \right) = d\left( {BD,\left( {SAx} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAx} \right)} \right) = 2d\left( {I,\left( {SAx} \right)} \right)\].

Kẻ \[IE \bot Ax\] tại \[E\], kẻ \[IK \bot SE\] tại \[K\]. Khi đó \[d\left( {I,\left( {SAx} \right)} \right) = IK\].

Gọi \[F\] là hình chiếu của \[I\] trên \[BD\], ta có: \[IE = IF = \frac{{AO}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\].

Tam giác vuông \[SIE\], có: \[IK = \frac{{SI.IE}}{{\sqrt {S{I^2} + I{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\].

Vậy \[d\left( {BD,SA} \right) = 2IK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\].

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SA\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Gọi \(O = AC \cap BD.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CO \bot BD\\SO \bot BD\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}\,\,\,SB = SD\,} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right] = \widehat {SOC}\).

\(\Delta SOA\) vuông tại \(A:\) \(AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = SA \Rightarrow \)\(\widehat {SOA} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {SOC} = 135^\circ \).

Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right]\) bằng \(135^\circ .\)