Câu hỏi:

24/12/2025 106

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = 2a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$. Biết $MN = a\sqrt 3 $. Góc giữa $AB$ và $CD$ bằng

A. $45^\circ $.

B. $30^\circ $.

C. $90^\circ $.

D. $60^\circ $.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Gọi $E$ là trung điểm của $BD$.

Khi đó ta có $ME,\,\,NE$ lần lượt là đường trung bình của các tam giác $BCD,\,\,ABD$.

Suy ra $ME{\rm{//}}CD,\,NE{\rm{//}}AB$. Do đó, $\left( {AB,\,CD} \right) = \left( {NE,\,ME} \right)$.

Ta có $ME = \frac{{CD}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a,\,\,NE = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a$.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác $MNE$ ta có

$\cos \widehat {MEN} = \frac{{M{E^2} + N{E^2} - M{N^2}}}{{2ME \cdot NE}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot a \cdot a}} = \frac{{ - 1}}{2}$.

Suy ra $\widehat {MEN} = 120^\circ $.

Khi đó, $\left( {NE,\,ME} \right) = 180^\circ - \widehat {MEN} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Vậy $\left( {AB,\,CD} \right) = 60^\circ $.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

(1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a,$ $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, $SA = a\sqrt 2 $ và $SB = SD$.

a) Chứng minh rằng $CD \bot \left( {SAD} \right).$

b) Tính số đo của góc nhị diện $\left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right].$

Lời giải

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy \(ABCD (ảnh 1)$

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SA\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)$.

b) Gọi $O = AC \cap BD.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CO \bot BD\\SO \bot BD\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}\,\,\,SB = SD\,} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right] = \widehat {SOC}$.

$\Delta SOA$ vuông tại $A:$ $AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = SA \Rightarrow $$\widehat {SOA} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {SOC} = 135^\circ $.

Vậy số đo của góc nhị diện $\left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right]$ bằng $135^\circ .$

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = a\sqrt 3 $. Góc giữa $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có số đo bằng

A. $30^\circ $.

B. $45^\circ $.

C. $60^\circ $.

D. $90^\circ $.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên góc giữa $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng góc $SDA$.

Tam giác $SAD$ vuông ở $A$ nên $\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 $. Suy ra $\widehat {SDA} = 60^\circ $.

Vậy góc giữa $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có số đo bằng $60^\circ $.

Câu 3

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$. Biết $SD = 2a\sqrt 3 $ và góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $30^\circ $. Tính thể tích $V$của khối chóp $S.ABCD$.

A. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{7}$.

B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{13}}$.

C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$.

D. $V = \frac{{4{a^3}\sqrt 6 }}{3}$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}$ với $a,{\rm{ }}b$ là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$ như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $0 < b < 1 < a$.

B. $0 < a < b < 1$.

C. $0 < b < a < 1$.

D. $0 < a < 1 < b$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Rút gọn $\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3} \cdot {b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}} \cdot {b^6}} }}}}$ ta được

A. \[{a^2}b\].

B. \[a{b^2}\].

C. \[{a^2}{b^2}\].

D. \[ab\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

III. Lời giải chi tiết tự luận

**(1,0 điểm)**

a) Giải bất phương trình $2{\log _2}\sqrt {x + 1} \le 2 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)$.

b) Giải phương trình ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{x^2} - 4x - 5}} = {4^{x + 1}}$ .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $M$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $AM \bot SD$.

B. $AM \bot \left( {SCD} \right)$.

C. $AM \bot CD$.

D. $AM \bot \left( {SBC} \right)$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Toán

Toán

Toán

Toán

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 2a\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\). Biết \(MN = a\sqrt 3 \). Góc giữa \(AB\) và \(CD\) bằng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có số đo bằng

Cho hàm số \(y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}\) với \(a,{\rm{ }}b\) là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Rút gọn \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3} \cdot {b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}} \cdot {b^6}} }}}}\) ta được

III. Lời giải chi tiết tự luận (1,0 điểm) a) Giải bất phương trình \(2{\log _2}\sqrt {x + 1} \le 2 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\). b) Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{x^2} - 4x - 5}} = {4^{x + 1}}\) .

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

III. Lời giải chi tiết tự luận

**(1,0 điểm)**

a) Giải bất phương trình \(2{\log _2}\sqrt {x + 1} \le 2 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\).

b) Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{x^2} - 4x - 5}} = {4^{x + 1}}\) .