Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Biết \(SD = 2a\sqrt 3 \) và góc tạo bởi đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(30^\circ \). Tính thể tích \(V\)của khối chóp \(S.ABCD\).
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Vì tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).
Lại có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), do đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Khi đó, góc tạo bởi đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(SCH\) và \(\widehat {SCH} = 30^\circ \).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên ta chứng minh được \(HC = HD\).
Từ đó suy ra \(\Delta SHC = \Delta SHD\) (c – g – c). Suy ra \(SC = SD = 2a\sqrt 3 \).
Tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) nên ta có
\[SH = SC\sin \widehat {SCH} = 2a\sqrt 3 \cdot \sin 30^\circ = a\sqrt 3 \]
\(HC = SC\cos \widehat {SCH} = 2a\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ = 3a\).
Vì tam giác \(SAB\) đều mà \(SH = a\sqrt 3 \) nên ta suy ra \(AB = \frac{{2SH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 2a\).
Suy ra \(HB = \frac{{AB}}{2} = a\). Khi đó, \(BC = \sqrt {H{C^2} - H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {a^2}} = 2a\sqrt 2 \).
Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = AB \cdot BC = 2a \cdot 2a\sqrt 2 = 4{a^2}\sqrt 2 \).
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 4{a^2}\sqrt 2 \cdot a\sqrt 3 = \frac{{4{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SA\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).
b) Gọi \(O = AC \cap BD.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CO \bot BD\\SO \bot BD\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}\,\,\,SB = SD\,} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right] = \widehat {SOC}\).
\(\Delta SOA\) vuông tại \(A:\) \(AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = SA \Rightarrow \)\(\widehat {SOA} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {SOC} = 135^\circ \).
Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right]\) bằng \(135^\circ .\)
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc \(SDA\).
Tam giác \(SAD\) vuông ở \(A\) nên \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {SDA} = 60^\circ \).
Vậy góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có số đo bằng \(60^\circ \).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập