III. Lời giải chi tiết tự luận

(1,0 điểm)

a) Giải bất phương trình \(2{\log _2}\sqrt {x + 1} \le 2 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\).

b) Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{x^2} - 4x - 5}} = {4^{x + 1}}\) .

a) Điều kiện: \(x > 2\).

\(2{\log _2}\sqrt {x + 1} \le 2 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} + {\log _2}\left( {x - 2} \right) \le 2\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 2} \right) \le 2\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) \le 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) \le {2^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 \le 0\)

\( \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(2 < x \le 3\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {2;\,\,3} \right]\).

b) Ta có \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{x^2} - 4x - 5}} = {4^{x + 1}} \Leftrightarrow {4^{ - {x^2} + 4x + 5}} = {4^{x + 1}}\)

\( \Leftrightarrow - {x^2} + 4x + 5 = x + 1 \Leftrightarrow - {x^2} + 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \(x = - 1\) và \(x = 4\).