(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a,\) \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 2 \) và \(SB = SD\).

a) Chứng minh rằng \(CD \bot \left( {SAD} \right).\)

b) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right].\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên suy ra \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\).

Kẻ \[Ax\parallel BD\].

 Do đó \[d\left( {BD,SA} \right) = d\left( {BD,\left( {SAx} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAx} \right)} \right) = 2d\left( {I,\left( {SAx} \right)} \right)\].

Kẻ \[IE \bot Ax\] tại \[E\], kẻ \[IK \bot SE\] tại \[K\]. Khi đó \[d\left( {I,\left( {SAx} \right)} \right) = IK\].

Gọi \[F\] là hình chiếu của \[I\] trên \[BD\], ta có: \[IE = IF = \frac{{AO}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\].

Tam giác vuông \[SIE\], có: \[IK = \frac{{SI.IE}}{{\sqrt {S{I^2} + I{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\].

Vậy \[d\left( {BD,SA} \right) = 2IK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\].

Đáp án đúng là: B

Với hai số thực dương \(x,\,\,y\) và hai số thực \(\alpha ,\,\,\beta \) tùy ý, ta có:

+) \({x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}\) (nhân hai lũy thừa cùng cơ số);

+) \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \cdot \beta }}\) (lũy thừa của lũy thừa);

+) \({\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }\) (lũy thừa của một tích).

Khi đó, áp dụng công thức lũy thừa của một tích ta có

\({\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }} = {x^{\alpha + \beta }} \cdot {y^{\alpha + \beta }} \ne {x^\alpha } \cdot {y^\beta }\) (dấu bằng chỉ xảy ra khi \(\alpha = \beta = 0\)).

Từ đó suy ra đáp án B sai.