Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: B

Với hai số thực dương \(x,\,\,y\) và hai số thực \(\alpha ,\,\,\beta \) tùy ý, ta có:

+) \({x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}\) (nhân hai lũy thừa cùng cơ số);

+) \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \cdot \beta }}\) (lũy thừa của lũy thừa);

+) \({\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }\) (lũy thừa của một tích).

Khi đó, áp dụng công thức lũy thừa của một tích ta có

\({\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }} = {x^{\alpha + \beta }} \cdot {y^{\alpha + \beta }} \ne {x^\alpha } \cdot {y^\beta }\) (dấu bằng chỉ xảy ra khi \(\alpha = \beta = 0\)).

Từ đó suy ra đáp án B sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có \(K = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}} = \frac{{109}}{{27}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \[\sqrt a \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^5}}} = {a^{\frac{1}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}} = {a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6}}} = {a^{\frac{5}{3}}}\].

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3} \cdot {b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}} \cdot {b^6}} }}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{a^{12}} \cdot {b^6}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{a^6} \cdot {b^3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{{\left( {{a^6} \cdot {b^3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{a^2} \cdot b}} = ab\).

Đáp án đúng là: D

Ta có:

+) \[{\log _a}x\] có nghĩa khi và chỉ khi \(x > 0\), do đó đáp án A sai.

+) \({\log _a}1 = 0\), do đó đáp án B sai.

+) \({\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y\), do đó đáp án C sai.

+) \[{\log _a}{x^n} = n{\log _a}x\,\,\left( {x > 0,\,n \ne 0} \right)\], do đó đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}9 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}{3^2} = 2 \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}}{\log _3}3 = 4\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \[\frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 = \frac{1}{2}{\log _a}{3^2} - {\log _a}5 = {\log _a}3 - {\log _a}5 = {\log _a}\frac{3}{5}\].

Vậy \(x = \frac{3}{5}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\)\( = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left[ {\left( {{x^2} + 9{y^2}} \right) + 6xy} \right]}}\)

               \( = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {6xy + 6xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {12xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}} = 1\).