Bài tập Thể tích khối chóp, khối chóp cụt đều lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Vì AB² + AC² = BC² (6² + 8² = 10²) nên ∆ABC vuông tại A.

Khi đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\).

Do đó \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.4.24 = 32\).

Đáp án đúng là: B

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra SA ⊥ (ABCD). Do đó chiều cao khối chóp là \(SA = a\sqrt {15} \).

Diện tích hình chữ nhật ABCD là S_ABCD = AB.BC = 2a².

Vậy thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}.\)

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ⊥ AB (do ∆SAB đều).

Do (SAB) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AB nên SH ⊥ (ABC).

Tam giác SAB là đều cạnh a nên \[SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Tam giác vuông ABC, có \[AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \].

Diện tích tam giác vuông \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\].

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm của AB.

Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI ⊥ AB.

Do (SAB) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AB nên SI ⊥ (ABCD).

Tam giác vuông SIA, có

\(SI = \sqrt {S{A^2} - I{A^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\).

Diện tích hình vuông ABCD là S_ABCD = a².

Vậy \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SI = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}.\]

Đáp án đúng là: B

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra SI ⊥ (ABC).

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì ∆ABC đều nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\[\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\]

Tam giác SAI vuông tại I, có

\[SI = \sqrt {S{A^2} - S{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}.\]

Diện tích tam giác ABC là \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\]

Vậy thể tích khối chóp \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}.\]

Đáp án đúng là: D

Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a \[ \Rightarrow \,\,{S_{\Delta ABC}} = {a^2}\sqrt 3 \].

Thể tích khối chóp \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.h \Rightarrow h = \frac{{3.{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{3{a^3}}}{{{a^2}\sqrt 3 }} = a\sqrt 3 .\]

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác vuông ABC, ta có \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 2\sqrt 6 a\).

Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD) là AB.

Do đó \(\widehat {SBA} = 60^\circ \).

Tam giác vuông SAB, có \(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 \).

Diện tích hình chữ nhật \[{S_{ABCD}} = AB.BC = 2\sqrt 6 {a^2}.\]

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = 2\sqrt 2 {a^3}.\)

Đáp án đúng là: C

Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB.

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SB \bot BC;{\rm{ }}AB \bot BC\end{array} \right.\) nên góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là \(\widehat {SBA} = 60^\circ \)

Tam giác vuông SAB, có \(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 \).

Diện tích hình chữ nhật ABCD là \[{S_{ABCD}} = AB.AD = {a^2}\sqrt 3 .\]

Vậy thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = {a^3}.\)