Bài tập Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.

Vì ∆ABC đều nên AM ⊥ BC và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AM ⊥ BC nên BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ AH.

Lại có AH ⊥ SM do đó AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH.

Xét ∆SAM vuông tại A, có \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}.\]

Đáp án đúng là: A

Dựng SH ⊥ AB. Do (SAB) ⊥ (ABCD) và (SAB) ∩ (ABCD) = AB nên SH ⊥ (ABCD).

Dựng CK ⊥ AB.

Vì SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CK mà CK ⊥ AB nên CK ⊥ (SAB).

Do CD // AB nên d(D, (SAB)) = d(C, (SAB)) = CK.

Xét ∆CKB vuông tại K, có CK = BC.sin60° = \(a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A trên BM.

Vì ∆BCD, ∆ACD đều nên BM ⊥ CD, AM ⊥ CD.

Do đó CD ⊥ (ABM) ⇒ CD ⊥ AH.

Vì AH ⊥ BM và AH ⊥ CD nên AH ⊥ (BCD).

Do đó d(A, (BCD)) = AH.

Mà ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm của ∆BCD.

Vì ∆BCD, ∆ACD đều cạnh a nên \(BM = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(HM = \frac{1}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Xét ∆AHM vuông tại H, có \(AH = \sqrt {A{M^2} - H{M^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{12}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Kẻ AK ⊥ BC (K ∈ BC) và AH ⊥ DK (H ∈ DK)

Vì AD ⊥ AB, AD ⊥ AC nên AD ⊥ (ABC) ⇒ AD ⊥ BC.

Mà AK ⊥ BC. Do đó BC ⊥ (ADK) ⇒ BC ⊥ AH mà AH ⊥ DK nên AH ⊥ (BCD).

Do đó d(A, (BCD)) = AH.

Xét ∆ABC vuông tại A có: \[\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}.\]

Xét ∆ADK vuông tại A có: \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}.\]

Vậy \[d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = AH = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}.\]

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABC vuông tại A, có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 3a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow BH = a\sqrt 2 \).

Xét ∆B'HB vuông tại H, có \[B'H = \sqrt {B{{B'}^2} - B{H^2}} = \sqrt {4{a^2} - 2{a^2}} = a\sqrt 2 \].

Kẻ HE ⊥ AC tại E, HF ⊥ B'E tại F.

Vì B'H ⊥ (ABC) ⇒ B'H ⊥ AC mà AC ⊥ HE nên AC ⊥ (B'HE) ⇒ AC ⊥ HF.

Mà HF ⊥ B'E nên HF ⊥ (B'AC).

Do đó d(H, (B'AC)) = HF.

Có HE // AB (vì cùng vuông góc với AC) nên \(\frac{{HE}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{CB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HE = 2a\).

Xét ∆B'HE vuông tại H, có \(\frac{1}{{H{F^2}}} = \frac{1}{{B'{H^2}}} + \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow HF = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Mặt khác \[\frac{{d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {B'AC} \right)} \right)}} = \frac{{BC}}{{HC}} = \frac{3}{2}.\] Do đó \[d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) = \frac{3}{2}.HF = a\sqrt 3 .\]

Đáp án đúng là: B

Kẻ OH ⊥ SC ⇒ d(O, SC) = OH.

Xét ∆ABC vuông tại B, có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \).

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC nên \(OA = OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét ∆SAC vuông tại A, có \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 6 \).

Vì ∆CHO đồng dạng với ∆CAS nên \(\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Rightarrow OH = \frac{{OC.SA}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 2 .2a}}{{2a\sqrt 6 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Kẻ AH ⊥ BC tại H .

Có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{4{a^2}}}{a} = 4a\).

Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC mà AH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH.

Do đó d(S, BC) = SH.

Xét ∆SAH vuông tại A, có \(SH = \sqrt {S{A^2} + A{H^2}} = \sqrt {9{a^2} + 16{a^2}} = 5a\).

Đáp án đúng là: C

Kẻ CH ⊥ AM tại H. Khi đó d(C, AM) = CH.

Do ∆BCD đều cạnh a nên MC là đường cao và \(MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vì AC ⊥ (BCD) nên AC ⊥ CM.

Xét ∆ACM vuông tại C, ta có \(\frac{1}{{C{H^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{C{M^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}} \Rightarrow CH = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\).