Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, tam giác ABC đều cạnh bằng a. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a. Khoảng cách từ A đến BC là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
b. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
c. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là \(\frac{{a\sqrt {21} }}{3}\).
d. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) là \(\frac{{a\sqrt {21} }}{{21}}\).
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Khoảng cách lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: a) Sai.b) Đúng.c) Sai.d) Đúng.
a) Sai. Gọi M là trung điểm của BC. Trong tam giác đều ABC, AM ⊥ BC
Nên khoảng cách từ A đến BC chính là đoạn AM và AM = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
b) Đúng. Gọi N là trung điểm của AB. Tam giác đều ABC nên CN ⊥ AB và CN = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Suy ra SA ⊥ (ABC) \( \Rightarrow \) SA ⊥ CN. Vậy CN ⊥ (SAB).
Suy ra d(C, (SAB)) = CN = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
c) Sai. Kẻ AH ⊥ AM tại H
Ta có BC ⊥ AM; SA ⊥ (ABC) \( \Rightarrow \) SA ⊥ BC
Vậy BC ⊥ (SAM) \( \Rightarrow \) BC ⊥ AH
Vậy AH ⊥ (SBC)
Suy ra d(A, (SBC)) = AH
Xét tam giác vuông SAM ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}}\\ \Rightarrow A{H^2} = \frac{{3{a^2}}}{7} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\end{array}\)
d) Đúng. Ta có \(\frac{{GM}}{{AM}} = \frac{{d(G,(SBC))}}{{d(A,(SBC))}} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow d(G,(SBC)) = \frac{1}{3}d(A,(SBC)) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt {21} }}{7} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{21}}\)
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
\(\frac{{\sqrt {57} a}}{3}\);
\(\frac{{2\sqrt {57} a}}{{19}}\);
\(\frac{{2\sqrt {57} a}}{3}\);
\(\frac{{\sqrt {57} a}}{{12}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.
Vì ∆ABC đều nên AM ⊥ BC và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AM ⊥ BC nên BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ AH.
Lại có AH ⊥ SM do đó AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH.
Xét ∆SAM vuông tại A, có \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}.\]
Câu 2
\(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\);
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);
\(\frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\);
\(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A trên BM.
Vì ∆BCD, ∆ACD đều nên BM ⊥ CD, AM ⊥ CD.
Do đó CD ⊥ (ABM) ⇒ CD ⊥ AH.
Vì AH ⊥ BM và AH ⊥ CD nên AH ⊥ (BCD).
Do đó d(A, (BCD)) = AH.
Mà ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm của ∆BCD.
Vì ∆BCD, ∆ACD đều cạnh a nên \(BM = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(HM = \frac{1}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Xét ∆AHM vuông tại H, có \(AH = \sqrt {A{M^2} - H{M^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{12}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a. SA ⊥ BC.
b. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng \[\frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\]
c. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
d. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) bằng \(\frac{a}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
\(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\);
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\);
\(a\sqrt 2 \);
\(\frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập