III. Lời giải chi tiết tự luận

(1,0 điểm)

a) Giải phương trình \({2^{{x^2} + 2}} = {8^x}\).

b) Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 5} \right)\).

a) \({2^{{x^2} + 2}} = {8^x}\)\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 2}} = {2^{3x}} \Leftrightarrow {x^2} + 2 = 3x\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\4x - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{5}{4}\).

Ta có \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 5} \right) \Leftrightarrow x + 1 \ge 4x - 5\)\( \Leftrightarrow x \le 2\).

Kết hợp với điều kiện ta được \(\frac{5}{4} < x \le 2.\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( {\frac{5}{4};2} \right]\).