(1,5 điểm) Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\]. Biết \[SA = a\sqrt 2 \] và \[SA\] vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SM\).

a) Chứng minh đường thẳng \(AH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

b) Chứng minh đường thẳng \(SH\) là hình chiếu của đường thẳng \(SA\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

c) Tính côsin góc tạo bởi đường thẳng \[SA\] và mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\].

1. Với \(b > 1 > a > 0\) ta có:

\[\log _a^2\left( {ab} \right) = 4 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)^2} = 4\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + {\log _a}b = 2\\1 + {\log _a}b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _a}b = 1\\{\log _a}b = - 3\end{array} \right.\].

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\b > 1\end{array} \right.\)nên \({\log _a}b = - 3\).

Khi đó, \(\log _a^3\left( {a{b^2}} \right) = {\left( {{{\log }_a}a + 2{{\log }_a}b} \right)^3} = {\left( {1 + 2 \cdot \left( { - 3} \right)} \right)^3} = - 125\).

2. Hàm số \[y = {\left( {{x^2} - 2x - m + 1} \right)^{\sqrt 7 }}\] có tập xác định là \[\mathbb{R}\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow m < {\left( {x + 1} \right)^2},\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow m < 0\].

Mà \[\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left( { - 2024;2024} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left( { - 2024;0} \right)\end{array} \right.\] nên có 2023 giá trị \[m\] thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án đúng là: C

Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là

\(\overline x = \frac{{18,5 \cdot 4 + 23,5 \cdot 6 + 28,5 \cdot 8 + 33,5 \cdot 18 + 38,5 \cdot 4}}{{4 + 6 + 8 + 18 + 4}} = \frac{{1200}}{{40}} = 30\).