Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác cân tại \[C\], \(AC = BC = a\sqrt {10} \), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng

Đáp án đúng là: A

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Vì tam giác \(SAB\) là tam giác đều nên \(SH \bot AB\).

Lại có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\). Do đó, \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Khi đó góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \(\widehat {SCH}\).

Vì tam giác \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(2a\) nên \(SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Vì tam giác \[ABC\] là tam giác cân tại \[C\] nên \(CH \bot AB\).

Ta có \(AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ACH\) ta được:

\(CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt {10} } \right)}^2} - {a^2}} = 3a\).

Lại có \(SH \bot CH\) (do \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)) nên tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\), do đó ta có:

\(\tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{HC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Suy ra \(\widehat {SCH} = 30^\circ \).