(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\sqrt 5 \), đáy là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = a\), \(AC = 2a\). Dựng \(AK\) vuông góc \(BC\) và \(AH\) vuông góc \(SK\).

a) Chứng minh \(BC \bot AH\).

b) Chứng minh đường thẳng \(AH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

c) Tính tan góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AK\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\).

b) Ta có \(AH \bot SK\) mà \(BC \bot AH\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

c) Vì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(SK\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Đặt \(\alpha = \left( {SA,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SA,SK} \right) = \widehat {ASK}\).

Ta có \(AK = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{2}{5}\).