III. Hướng dẫn giải tự luận

(1,0 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức \(A = {2^{1 - \sqrt 2 }} \cdot {2^{3 + \sqrt 2 }} \cdot {4^{\frac{1}{2}}}\).

b) Giải bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\).

a) Ta có tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tứ giác \(IBCJ\) là hình chữ nhật nên \(IJ = BC = a\).

Tam giác \(SCD\) là tam giác vuông cân đỉnh \(S\) nên \(SJ = \frac{{CD}}{2} = \frac{a}{2}\).

Do đó, \(S{J^2} + S{I^2} = I{J^2}\,\,\left( { = {a^2}} \right)\), suy ra tam giác \(SIJ\) vuông tại \(S\).

Vậy \(SI \bot SJ\).

b) Vì tam giác \(SCD\) là tam giác cân đỉnh \(S\) nên \(SJ \bot CD\).

Do \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(SJ \bot AB\) mà \(SI \bot SJ\) nên \(SJ \bot \left( {SAB} \right)\).

Chứng minh tương tự ta có \(SI \bot \left( {SCD} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \({\log _9}10 = {\log _{{3^2}}}\left( {2 \cdot 5} \right) = \frac{1}{2}{\log _3}\left( {2 \cdot 5} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5} \right)\).

Áp dụng công thức đổi cơ số ta có \({\log _2}3 = \frac{{{{\log }_3}3}}{{{{\log }_3}2}} = \frac{1}{{{{\log }_3}2}}\), suy ra \({\log _3}2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = \frac{1}{a}\).

Tương tự \({\log _2}5 = \frac{{{{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}2}} \Rightarrow {\log _3}5 = {\log _2}5 \cdot {\log _3}2 = b \cdot \frac{1}{a} = \frac{b}{a}\).

Do đó, \({\log _9}10 = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{b}{a}} \right) = \frac{{1 + b}}{{2a}}\).