Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay và 4 kiểu dây. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

Do \(BH\) là đường cao nên \(AC \bot BH\) nên đường thẳng \(AC\)có một vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {{u_{AC}}}  = \overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {5; - 2} \right)\).

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AC\) là: \(\overrightarrow {{n_{AC}}}  = \left( {2;5} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) có phương trình là:

\(2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y - 8 = 0\).

Do đường thẳng \(AC\) giao đường thẳng \(CM\) tại \(C\) nên tọa độ của \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 8 = 0\\5x + 7y - 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\).

Đặt tọa độ điểm \(B\left( {a;b} \right)\). Do \(B \in BH\) nên \(5a - 2b - 4 = 0\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên\(M\left( {\frac{{ - 1 + a}}{2};\frac{{2 + b}}{2}} \right) \in CM\)

\( \Leftrightarrow 5.\frac{{ - 1 + a}}{2} + 7.\frac{{2 + b}}{2} - 20 = 0 \Leftrightarrow 5a + 7b - 31 = 0\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}5a - 2b - 4 = 0\\5a + 7b - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {2;3} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) có vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 3} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0\).

Ta có :  \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11 \Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 11\,\,\left( {n \ge 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 11\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\\n =  - 5\end{array} \right.\) .

Do đó có \(n = 4\) thỏa mãn điều kiện.

Khi đó:

\({\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} = {\left( {{x^3}} \right)^4} + 4.{\left( {{x^3}} \right)^3}.\frac{1}{{{x^2}}} + 6.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} + 4.{x^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4}\)

\( = {x^{12}} + 4{x^7} + 6{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^8}}}\).

Vậy hệ số của \({x^2}\) trong khai triển đã cho là 6.