Phương tiện bạn Khoa có thể chọn đi từ Hải Dương xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt được thể hiện qua sơ đồ cây sau:

Hỏi bạn Khoa có mấy cách chọn phương tiện đi từ Hải Dương xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt?

Do \(BH\) là đường cao nên \(AC \bot BH\) nên đường thẳng \(AC\)có một vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {{u_{AC}}}  = \overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {5; - 2} \right)\).

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AC\) là: \(\overrightarrow {{n_{AC}}}  = \left( {2;5} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) có phương trình là:

\(2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y - 8 = 0\).

Do đường thẳng \(AC\) giao đường thẳng \(CM\) tại \(C\) nên tọa độ của \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 8 = 0\\5x + 7y - 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\).

Đặt tọa độ điểm \(B\left( {a;b} \right)\). Do \(B \in BH\) nên \(5a - 2b - 4 = 0\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên\(M\left( {\frac{{ - 1 + a}}{2};\frac{{2 + b}}{2}} \right) \in CM\)

\( \Leftrightarrow 5.\frac{{ - 1 + a}}{2} + 7.\frac{{2 + b}}{2} - 20 = 0 \Leftrightarrow 5a + 7b - 31 = 0\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}5a - 2b - 4 = 0\\5a + 7b - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {2;3} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) có vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 3} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0\).

Ta có :  \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11 \Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 11\,\,\left( {n \ge 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 11\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\\n =  - 5\end{array} \right.\) .

Do đó có \(n = 4\) thỏa mãn điều kiện.

Khi đó:

\({\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} = {\left( {{x^3}} \right)^4} + 4.{\left( {{x^3}} \right)^3}.\frac{1}{{{x^2}}} + 6.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} + 4.{x^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4}\)

\( = {x^{12}} + 4{x^7} + 6{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^8}}}\).

Vậy hệ số của \({x^2}\) trong khai triển đã cho là 6.